2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение22.04.2024, 17:54 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
Теорема Эрншоу утверждает, что совокупность точечных зарядов не может поддерживаться в стабильной стационарной равновесной конфигурации исключительно за счет электростатического взаимодействия зарядов. В тоже время, статическое распределение зарядов на поверхности проводника всегда считается равновесным (вспомнить хотя бы знаменитую задачу Томсона). Очевидно, что здесь все дело в поверхностном constraint.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение22.04.2024, 17:57 
Аватара пользователя


11/12/16
14036
уездный город Н
А обсудить-то что предлагается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение22.04.2024, 18:00 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
EUgeneUS в сообщении #1637105 писал(а):
А обсудить-то что предлагается?

кажущееся противоречие...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение22.04.2024, 18:04 
Аватара пользователя


11/12/16
14036
уездный город Н
А в чем противоречие? Хоть и кажущееся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение22.04.2024, 18:12 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
EUgeneUS в сообщении #1637107 писал(а):
А в чем противоречие? Хоть и кажущееся.

Хотелось бы, чтобы подключились мэтры в области уравнений мат. физики и пояснили, почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение22.04.2024, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
reterty в сообщении #1637108 писал(а):
почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.

reterty Вы в последних постах занимались проблемой минимизации энергии электрического поля. Может с этой точки зрения посмотреть на проблему?
reterty в сообщении #1637104 писал(а):
Очевидно, что здесь все дело в поверхностном constraint.....

Можно добавить, что функция на компакте всегда достигает минимума. А минимизируемая функция вогнута (т.е. выпукла вверх). У неё без ограничений минимум не может достигаться. А с ограничениями, почему нет?

-- Пн апр 22, 2024 22:33:06 --

(Оффтоп)

reterty в сообщении #1637108 писал(а):
Хотелось бы, чтобы подключились мэтры в области уравнений мат. физики

Извиняюсь, не заметил :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение22.04.2024, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Противоречие, стало быть в том, что не подключаются мэтры. Я бы проверил наличие тока в цепи. Или, быть может, переходник не тот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение23.04.2024, 02:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
reterty в сообщении #1637108 писал(а):
почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.
Уточните, пожалуйста.
1) Вы говорите о дискретном распределении заряда, или о непрерывном?
2) Глобальный экстремум какой величины — электростатического потенциала? энергии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение23.04.2024, 08:11 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
svv в сообщении #1637133 писал(а):
reterty в сообщении #1637108 писал(а):
почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.
Уточните, пожалуйста.
1) Вы говорите о дискретном распределении заряда, или о непрерывном?
2) Глобальный экстремум какой величины — электростатического потенциала? энергии?

1) На поверхности проводника обычно подразумевают некое непрерывное распределение заряда с некоторой (в общем случае переменной) поверхностной плотностью. В то же время на сфере Томсона устойчивой равновесной конфигурации достигает некоторое финитное число точечных (дискретных) зарядов. Поэтому всегда думалось что это непринципиально.
2) Речь идет об экстремуме потенциала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение23.04.2024, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Рассматриваем конечную связную область и устойчиво равновесные конфигурации зарядов, ограниченных этой областью.
В непрерывном случае задаём суммарный заряд $q$, в дискретном — число точечных зарядов и величину каждого $q_i$.

И в дискретном, и в непрерывном случае равновесная конфигурация соответствует минимуму энергии. При этом заряды расположатся на границе области. А дальше — различия:
$\bullet$ В непрерывном случае заряды распределятся по границе так, что во всей области, включая границу, потенциал будет постоянный. В дискретном — нет.
$\bullet$ Как следствие, в непрерывном случае поле внутри области равно нулю, а на границе будет иметь лишь нормальную компоненту. В дискретном — нет.
$\bullet$ В непрерывном случае равновесная конфигурация (распределение поверхностной плотности) единственна, так что минимум энергии один и глобальный (сможете доказать?). В дискретном случае может быть много локальных минимумов: возьмите два точечных заряда $q_1=q_2=1$, ограниченных тетраэдром. Если взять близкий к правильному, но не совсем правильный тетраэдр, уровни энергии, соответствующие разным равновесным конфигурациям, будут различными.
reterty в сообщении #1637135 писал(а):
2) Речь идет об экстремуме потенциала.
Поясните подробнее, пожалуйста, туплю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение24.04.2024, 17:32 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
svv в сообщении #1637147 писал(а):
Поясните подробнее, пожалуйста, туплю.

Теорема Ирншоу это по сути пересказанная одна из теорем о гармонической функции (то есть об отсутствии экстремума для такой функции), которая утверждает что гармоническая функция (в нашем случае потенциал) не может достигать экстремума в области где она определена. Это утверждение эквивалентно тому что любая система электрических зарядов не имеет устойчивой конфигурации. Но заряды, распределенные на поверхности проводника вполне себе находятся в состоянии устойчивого равновесия..... неужто тут все дело в наличии поверхностного констрейнта на движения зарядов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение24.04.2024, 21:39 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
Вроде бы разобрался. Теорема Ирншоу работает лишь для электростатических сил. В случае зарядов на поверхности проводника при попытке зарядов "слететь" с этой поверхности и "уйти в бесконечность" возникнут возвращающие сторонние силы электрического изображения которые и поддерживают устойчивость равновесной конфигурации зарядов на проводнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение24.04.2024, 21:52 
Аватара пользователя


11/12/16
14036
уездный город Н
reterty в сообщении #1637247 писал(а):
Теорема Ирншоу работает лишь для электростатических сил.


Собственно, на это сразу намекали.

reterty в сообщении #1637247 писал(а):
В случае зарядов на поверхности проводника при попытке зарядов "слететь" с этой поверхности и "уйти в бесконечность" возникнут возвращающие сторонние силы электрического изображения которые и поддерживают устойчивость равновесной конфигурации зарядов на проводнике.


Не считается. Ибо "силы электрического изображения" - это следствие, а не причина того, что заряды не могут покинуть поверхность.

-- 24.04.2024, 22:09 --

Вообще-то, согласно теореме Ирншоу весь мир должен превратиться в труху за очень короткое время.
На осмысление этого факта физикам потребовалось примерно 50 лет.

Физики пытались спасти мир разными костыликами в виде "модели пудинга", а потом планетарной модели атома Резерфорда. Когда стало ясно, что эти костылики не помогают, получилась квантовая механика и далее - КЭД.

И это просто счастье какое-то, что теорема Ирншоу не имеет квантового аналога.

К чему это? А к тому, что оставаясь в рамках классической электродинамики и не привлекая силы не электростатической природы (квантовые эффекты, в виде работы выхода, например, относятся к таковым), получить устойчивую статическую систему зарядов невозможно никакими измышлениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение24.04.2024, 22:13 


05/09/16
12110
reterty в сообщении #1637247 писал(а):
Теорема Ирншоу работает лишь для электростатических сил.

Обобщим. Для любых статических сил точечных зарядов где справедлива теорема Гаусса. Т.е. электростатика + постоянные магниты + гравитация + эти же внешние (ессно потенциальные) поля = равновесие неустойчиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник
Сообщение24.04.2024, 22:21 
Аватара пользователя


11/12/16
14036
уездный город Н
wrest
Вы, конечно, правы.
Но в предложенном ТС варианте есть только электростатика (и силы, где теорема Гаусса не справедлива - они и удерживают заряды на поверхности проводника).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group