Помогите доказать по терверу

[Fsb4000]

Где можно найти доказательство такого факта:
если M(\xi^n) < \infty, то характеристическая функция n раз дифференцируема.

[Brukvalub]

Попробуйте доказать самостоятельно, опираясь на свойства преобразования Фурье.

[Fsb4000]

Попробовал подоказывать.
Посмотрите что получилось:
По индукции: n=1

$$M(|\xi|) < \infty ; \int_{-\infty}^{\infty} |x|p(x)dx <\infty$$

Надо

$$\varphi (t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}p(x)dx$$

дифференцируема.
Проверим

$$\exists |e^{itx}p(x)|'_{t} = |ixe^{itx}p(x)| \leqslant |x|p(x)$$

=> интегрируема.
=>

$$\exists \varphi' (t) = i\int_{-\infty}^{\infty} xe^{itx}p(x)dx$$

Пусть

$$M(|\xi|^k)<\infty => \exists \varphi^{(k)} (t)=i^k\int_{-\infty}^{\infty}x^k e^{itx}p(x)dx$$

$$M(|\xi|^{k+1})<\infty =>\int_{-\infty}^{\infty} |x|^{k+1}p(x)dx < \infty.$$

Достаточно доказать, что

$$\exists (\varphi^{(k)})^I$$

.
Рассмотрим

$$|i^kx^ke^{itx}p(x)|'_{t} = |i^{k+1}x^{k+1}e^{itx}p(x)|\leqslant |x^{k+1}| p(x) $$

- интегрируема.
=>

$$\exists \varphi^{k+1} (t) = i^{k+1}\int_{-\infty}^{\infty}x^{k+1} e^{itx}p(x)dx$$

ч.т.д.

Правильно или гдето косячнул?Проверьте кто может

[Brukvalub]

Вы опираетесь на некую торему о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру, но нигде о ней не упоминаете. Вот это - нехорошо.

[Fsb4000]

Это вот эта теорема?:
Если f и

$$\frac{df}{dy}$$

непрерывны , a(y),b(y) дифференцируемы, то

$$I'(y)=(\int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)dx)'_y = \int_{a(y)}^{b(y)}\frac{df}{dy}dx +b'(y)f(b(y),y) - a'(y)f(a(y),y)$$

У нас f(x,t) и

$$\frac{df}{dt}$$

непрерывны , вместо a(y),b(y) бесконечности , производные a(y),b(y) равны 0, как константы.
Такое исправление пойдет?

[Brukvalub]

Не пойдет - Вам нужна другая теорема - теорема о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру.

[Fsb4000]

Эта теорема?
Если1) функция

$$f(x,y)$$

непрерывна вместе со своей производной

$$f_y'(x,y)$$

в области

$$- \infty <x<+\infty$$

,

$$y_1<y<y_2$$

$$2) \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx $$

сходится

$$3) \int_{-\infty}^{\infty} f'_y(x,y)dx $$

сходится равномерно в интервале

$$(y_1,y_2)$$

то

$$(\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx)'_y=\int_{-\infty}^{\infty} f'_y(x,y)dx$$

при

$$y_1<y<y_2 $$

(Правило Лейбница)
Всё остальное правильно, это единственный недочет?

[Brukvalub]

Да, например, эта теорема. Только я не вижу, где Вы в своем решении проверили выполнение условий этой теоремы. чтобы опереться на ее заключение?

[GAA]

Даже если не вчитываться в приводимое Вами доказательство, помимо указанного Brukvalub недостатка, бросается в глаза следующее:
1) доказательство приводится для абсолютно непрерывных распределений;
2) не указано, почему из существования абсолютного момента n-го прядка вытекает существование абсолютного момента k-го порядка ($0 < k < n$).

Кратко доказательство приведено, например, в книгах:
[1] Ширяев А.Н. Вероятность, 1980.
[2] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.2 — М.: 1984. [Возможно есть и в других изданиях. Смотреть главу XV Характеристические функции, §4 Свойства регулярности.]