2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите доказать по терверу
Сообщение29.11.2008, 22:30 
Где можно найти доказательство такого факта:
если M(\xi^n) < \infty, то характеристическая функция n раз дифференцируема.

 
 
 
 
Сообщение29.11.2008, 22:36 
Аватара пользователя
Попробуйте доказать самостоятельно, опираясь на свойства преобразования Фурье.

 
 
 
 
Сообщение01.12.2008, 19:28 
Попробовал подоказывать.
Посмотрите что получилось:
По индукции: n=1
$$M(|\xi|) < \infty ; \int_{-\infty}^{\infty} |x|p(x)dx <\infty$$
Надо $$\varphi (t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}p(x)dx$$ дифференцируема.
Проверим $$\exists |e^{itx}p(x)|'_{t} = |ixe^{itx}p(x)| \leqslant |x|p(x)$$ => интегрируема.
=> $$\exists \varphi' (t) = i\int_{-\infty}^{\infty} xe^{itx}p(x)dx$$

Пусть $$M(|\xi|^k)<\infty => \exists \varphi^{(k)} (t)=i^k\int_{-\infty}^{\infty}x^k e^{itx}p(x)dx$$
$$M(|\xi|^{k+1})<\infty =>\int_{-\infty}^{\infty} |x|^{k+1}p(x)dx < \infty.$$ Достаточно доказать, что $$\exists (\varphi^{(k)})^I$$.
Рассмотрим $$|i^kx^ke^{itx}p(x)|'_{t} = |i^{k+1}x^{k+1}e^{itx}p(x)|\leqslant |x^{k+1}| p(x) $$ - интегрируема.
=> $$\exists \varphi^{k+1} (t) = i^{k+1}\int_{-\infty}^{\infty}x^{k+1} e^{itx}p(x)dx$$
ч.т.д.

Правильно или гдето косячнул?Проверьте кто может

 
 
 
 
Сообщение02.12.2008, 16:00 
Аватара пользователя
Вы опираетесь на некую торему о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру, но нигде о ней не упоминаете. Вот это - нехорошо.

 
 
 
 
Сообщение02.12.2008, 17:21 
Это вот эта теорема?:
Если f и $$\frac{df}{dy}$$ непрерывны , a(y),b(y) дифференцируемы, то $$I'(y)=(\int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)dx)'_y = \int_{a(y)}^{b(y)}\frac{df}{dy}dx +b'(y)f(b(y),y) - a'(y)f(a(y),y)$$
У нас f(x,t) и $$\frac{df}{dt}$$ непрерывны , вместо a(y),b(y) бесконечности , производные a(y),b(y) равны 0, как константы.
Такое исправление пойдет?

 
 
 
 
Сообщение02.12.2008, 17:51 
Аватара пользователя
Не пойдет - Вам нужна другая теорема - теорема о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру.

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 14:48 
Эта теорема?
Если1) функция $$f(x,y)$$ непрерывна вместе со своей производной $$f_y'(x,y)$$в области $$- \infty <x<+\infty$$ ,$$y_1<y<y_2$$
$$2)  \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx $$сходится
$$3) \int_{-\infty}^{\infty} f'_y(x,y)dx $$сходится равномерно в интервале $$(y_1,y_2)$$ то
$$(\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx)'_y=\int_{-\infty}^{\infty} f'_y(x,y)dx$$ при $$y_1<y<y_2 $$(Правило Лейбница)
Всё остальное правильно, это единственный недочет?

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 16:36 
Аватара пользователя
Да, например, эта теорема. Только я не вижу, где Вы в своем решении проверили выполнение условий этой теоремы. чтобы опереться на ее заключение?

 
 
 
 
Сообщение04.12.2008, 11:37 
Даже если не вчитываться в приводимое Вами доказательство, помимо указанного Brukvalub недостатка, бросается в глаза следующее:
1) доказательство приводится для абсолютно непрерывных распределений;
2) не указано, почему из существования абсолютного момента n-го прядка вытекает существование абсолютного момента k-го порядка ($0 < k < n$).

Кратко доказательство приведено, например, в книгах:
[1] Ширяев А.Н. Вероятность, 1980.
[2] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.2 — М.: 1984. [Возможно есть и в других изданиях. Смотреть главу XV Характеристические функции, §4 Свойства регулярности.]

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group