принцип минимума энергии электростатического поля.

[reterty]

Задача: показать что ПРИ ФИКСИРОВАННОЙ КОНФИГУРАЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ, их результирующее электростатическое поле распределяется в пространстве так, чтобы энергия этого поля была минимальной. Доказательство, по-видимому, должно быть как-то связано с более общим принципом наименьшего действия в физике.

[svv]

Цель моего сообщения — показать, что условие надо уточнить.
Допустим, заряды занимают какую-то ограниченную область, их расположение (плотность $\rho$ как функция координат) задано. Поле, удовлетворяющее уравнениям $\operatorname{div}\mathbf E=4\pi\rho,\;\operatorname{rot}\mathbf E=0$ и условию на бесконечности, единственно. Назовём его истинным.

В то же время, Ваша формулировка предполагает, что надо рассмотреть целый класс различных полей и показать, что из них истинным будет поле с минимальной энергией. Поля этого класса не могут удовлетворять всем вышеупомянутым условиям — иначе в классе останется только одно поле (истинное), и минимальность его энергии в этом классе станет тривиальной (аналогично тому, как единственное пиво в ассортименте самое дешёвое, оно же самое дорогое).

Но и совсем произвольными поля, включаемые нами в класс, быть не могут, потому что тогда в класс войдёт и нулевое поле, а оно явно имеет минимальную возможную энергию, если таковой считать $\frac 1{8\pi}\int E^2\;dV$.

Значит, какие-то условия для полей, включаемых в класс, выполняются, а какие-то нет. Тогда
1) надо определиться с тем, какие именно условия (уравнения) следует считать выполненными априори;
2) не совсем понятно, какое выражение для энергии использовать в задаче. Ландау-Лифшиц в «Теории поля» на стр.129-130 показывают эквивалентность двух выражений для электростатической энергии:
$\frac 1{8\pi}\int E^2\;dV=\frac 1 2\int\rho\varphi\;dV$
Но в выводе используются все условия, которые я написал выше, в т.ч. условие на бесконечности. А без них эти два выражения неэквивалентны.

[Утундрий]

svv в сообщении #1636370 писал(а):

Цель моего сообщения — показать, что условие надо уточнить.

Это можно сделать одной фразой. При фиксированной конфигурации зарядов, создаваемое ими поле будет также фиксированным.

[svv]

Утундрий в сообщении #1636375 писал(а):

При фиксированной конфигурации зарядов, создаваемое ими поле будет также фиксированным.

Поле фиксировано, когда есть полная система уравнений. Я предполагаю, что задача в исправленной формулировке — доказать, что если определённые уравнения убрать и заменить определённым вариационным принципом, то полученный набор условий будет фиксировать то же поле.
Выше в 1) я прошу уточнить, какие уравнения у нас есть, а какие забрали, и их надо доказывать. В 2) прошу уточнить, какой дан вариационный принцип в качестве замены.

[reterty]

svv в сообщении #1636380 писал(а):

Утундрий в сообщении #1636375 писал(а):

При фиксированной конфигурации зарядов, создаваемое ими поле будет также фиксированным.

Поле фиксировано, когда есть полная система уравнений. Я предполагаю, что задача в исправленной формулировке — доказать, что если определённые уравнения убрать и заменить определённым вариационным принципом, то полученный набор условий будет фиксировать то же поле.
Выше в 1) я прошу уточнить, какие уравнения у нас есть, а какие забрали, и их надо доказывать. В 2) прошу уточнить, какой дан вариационный принцип в качестве замены.

Вы как всегда абсолютно правы! Рассмотрим поле, обращающееся в нуль на бесконечности (первое условие). Далее предположим, что у нас задано как-то распределение зарядов в пространстве: $\rho(\vec{r})$ (второе условие). Кроме того, будем считать что $\vec{E}=-\nabla \varphi$ (третье условие-условие потенциальности поля). Тогда из всего класса потенциальных полей $\varphi (\vec{r})$, обращающихся в нуль на бесконечности, истинным будет такое, что $\delta \int E^2\;dV=0$ (четвертое, вариационное условие). Такое утверждение доказуемо, поскольку Эйлер-Лагранж дает: $\Delta \varphi=0$, т. е. решением будет гармоническая функция. А вот провернуть подобный фокус, используя условие $\delta \int \rho \varphi\;dV=0$, очевидно что не получится...

[svv]

Да, можно рассмотреть такое условие. Дана область $G$ без зарядов (все заряды в $\mathbb R^3\setminus G$), на границе которой задан потенциал $\varphi$ (а если область неограниченная, то дополнительно задано, что потенциал на бесконечности стремится к нулю). Показать, что $\Delta\varphi=0$ можно вывести из вариационного принципа
$\delta\int\limits_G(\nabla\varphi)^2\;dV=0$

[reterty]

svv в сообщении #1636428 писал(а):

Да, можно рассмотреть такое условие. Дана область $G$ без зарядов (все заряды в $\mathbb R^3\setminus G$), на границе которой задан потенциал $\varphi$ (а если область неограниченная, то дополнительно задано, что потенциал на бесконечности стремится к нулю). Показать, что $\Delta\varphi=0$ можно вывести из вариационного принципа
$\delta\int\limits_G(\nabla\varphi)^2\;dV=0$

К сожалению, сам вывод выражения для энергии поля $\int\limits_GE^2\;dV основывается на дополнительном знании дивергенции и ротора потенциального поля.....(((

[Theoristos]

reterty в сообщении #1636352 писал(а):

Задача: показать что ПРИ ФИКСИРОВАННОЙ КОНФИГУРАЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ, их результирующее электростатическое поле распределяется в пространстве так, чтобы энергия этого поля была минимальной.

Очевидно, минимум энергии поля будет при равенстве поля нулю везде.

Так что без накладывания каких-то дополнительных связей с источниками это ерунда.