Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация

[AlinaDereni]

Проходим эту тему и очень плохо понимаю задание, была бы безумно благодарна, если решите задачу и как для дурочки ее распишите Также хотелось бы, чтобы вы посоветовали какие-нибудь материалы по алгемы, по типу книжек, онлайн ресурсов или видео.

В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти ортонормированный базис ортогонального дополнения линейной оболочки вектора (1, 3, -1, 1)

[Alex Krylov]

Если вектор $v$ принадлежит ортогональному дополнению вектора $\left\lbrace1,3,-1,1\right\rbrace$, то какое условие должно выполняться?

[AlinaDereni]

Alex Krylov в сообщении #1636459 писал(а):

Если вектор $v$ принадлежит ортогональному дополнению вектора $\left\lbrace1,3,-1,1\right\rbrace$, то какое условие должно выполняться?

То он ортогонален этому вектору, т.е. скалярное произведение = 0?

[Alex Krylov]

Именно так!!! Если $v = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4\end{bmatrix}^T$, то мы будем иметь $1 x_1 + 3 x_2 -1 x_3 + 1 x_4 = 0$. Последнее равенство, что это за математический объект?

[AlinaDereni]

Alex Krylov в сообщении #1636464 писал(а):

Именно так!!! Если $v = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4\end{bmatrix}^T$, то мы будем иметь $1 x_1 + 3 x_2 -1 x_3 + 1 x_4 = 0$. Последнее равенство, что это за математический объект?

Уравнение с четырьмя неизвестными я так понимаю

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Подозреваю, что задачу можно решить методом ортогонализации Грама-Шмидта.

[AlinaDereni]

мат-ламер в сообщении #1636467 писал(а):

(Оффтоп)

Подозреваю, что задачу можно решить методом ортогонализации Грама-Шмидта.

Просто проблема в том что я не уверена, насколько правильно я понимаю, что именно от меня требуют. Типо, у нас есть какой-то вектор, мы для него ищем перпендикулярные векторы, потом их ортонормируем, если по методу ГШ, а сколько векторов нужно искать для базиса и как понять что именно эти вектора являются базисами и сколько векторов нужно? Если стандартный базис состоит из 4-х векторов, то и нам нужно вычислить 4 ортонормированных вектора, которые составляют базис?

[мат-ламер]

AlinaDereni в сообщении #1636468 писал(а):

а сколько векторов нужно искать для базиса

AlinaDereni в сообщении #1636468 писал(а):

и сколько векторов нужно?

Четыре. Один уже у вас есть, который не трогайте (только пронормируйте). Дополните его ещё тремя вектора из стандартного базиса и запускайте процесс ортогонализации (не трогая первый вектор).

P.S. В ответе самый первый вектор выбросите. В ответе останется три вектора.

[AlinaDereni]

мат-ламер в сообщении #1636470 писал(а):

AlinaDereni в сообщении #1636468 писал(а):

а сколько векторов нужно искать для базиса

AlinaDereni в сообщении #1636468 писал(а):

и сколько векторов нужно?

Четыре. Один уже у вас есть, который не трогайте (только пронормируйте). Дополните его ещё тремя вектора из стандартного базиса и запускайте процесс ортогонализации (не трогая первый вектор).

P.S. В ответе самый первый вектор выбросите. В ответе останется три вектора.

Взяла (1, 3, -1, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1)
$g_1=(1, 3, -1, 1)$
$g_2 = (0, 1, 0, 0) - 3/12 (1, 3, -1, 1) = 1/4 (-1, 1, 1, -1)$
$g_3 = (0, 0, 1, 0) + 1/12 (1, 3, -1, 1) - 0 = 1/12 (1, 3, 11, 1)$
$g_4 = (0, 0, 0, 1) - 1/12 (1, 3, -1, 1) - 0 - 0 = 1/12 (-1, -3, 1, 11)$

ну и там ортонормировать еще, я правильно понимаю?

[iifat]

AlinaDereni, а что за $-0$ в третьей и четвёртой строках?

[мат-ламер]

AlinaDereni в сообщении #1636479 писал(а):

ну и там ортонормировать еще, я правильно понимаю?

Да. Читайте условие:

AlinaDereni в сообщении #1636449 писал(а):

найти ортонормированный базис

Обычно по ходу процесса делают и нормировку.

Однако у вас по ходу и ортогонализация где-то пропадает.

[zgemm]

AlinaDereni в сообщении #1636479 писал(а):

Взяла (1, 3, -1, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1)

понятно, что решений может быть много, у Вас в качестве решения должно получиться три ортонормированных вектора. Если идти по классике - будет много арифметики, и можно ошибиться. Поэтому задумайтесь, а какие вектора взять, чтобы они сразу были бы ортогональны исходному и друг другу.

Вот например, возьмите пару первых координат и в них можно найти такой вектор $(3, -1, 0, 0)/\sqrt{10}$, то же самое сделайте со второй парой: $(0, 0, 1, 1)/\sqrt{2}$. Очевидно, что исходный и эти два уже все друг к другу ортогональны. Исходный, кстати, занормировать еще правильнее: $(1, 3, -1, 1)/\sqrt{12}$. Теперь можно догадаться, что $(1 \cdot a, 3 \cdot a, -1 \cdot b, 1 \cdot b)$ будет ортогональным для любых $a$ и $b$ двум нами предложенным и угадать эти $a$ и $b$ чтобы он стал ортогонален исходному, ну и по совместительству стал бы нормированным.