2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 18:01 


15/04/24
5
Проходим эту тему и очень плохо понимаю задание, была бы безумно благодарна, если решите задачу и как для дурочки ее распишите :D Также хотелось бы, чтобы вы посоветовали какие-нибудь материалы по алгемы, по типу книжек, онлайн ресурсов или видео.

Код:
В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти ортонормированный базис ортогонального дополнения линейной оболочки вектора (1, 3, -1, 1)

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 19:13 


14/11/21
141
Если вектор $v$ принадлежит ортогональному дополнению вектора $\left\lbrace1,3,-1,1\right\rbrace$, то какое условие должно выполняться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 19:39 


15/04/24
5
Alex Krylov в сообщении #1636459 писал(а):
Если вектор $v$ принадлежит ортогональному дополнению вектора $\left\lbrace1,3,-1,1\right\rbrace$, то какое условие должно выполняться?

То он ортогонален этому вектору, т.е. скалярное произведение = 0?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 19:53 


14/11/21
141
Именно так!!! Если $v = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4\end{bmatrix}^T$, то мы будем иметь $1 x_1 + 3 x_2 -1 x_3 + 1 x_4 = 0$. Последнее равенство, что это за математический объект?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 20:09 


15/04/24
5
Alex Krylov в сообщении #1636464 писал(а):
Именно так!!! Если $v = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4\end{bmatrix}^T$, то мы будем иметь $1 x_1 + 3 x_2 -1 x_3 + 1 x_4 = 0$. Последнее равенство, что это за математический объект?

Уравнение с четырьмя неизвестными я так понимаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068

(Оффтоп)

Подозреваю, что задачу можно решить методом ортогонализации Грама-Шмидта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 20:27 


15/04/24
5
мат-ламер в сообщении #1636467 писал(а):

(Оффтоп)

Подозреваю, что задачу можно решить методом ортогонализации Грама-Шмидта.

Просто проблема в том что я не уверена, насколько правильно я понимаю, что именно от меня требуют. Типо, у нас есть какой-то вектор, мы для него ищем перпендикулярные векторы, потом их ортонормируем, если по методу ГШ, а сколько векторов нужно искать для базиса и как понять что именно эти вектора являются базисами и сколько векторов нужно? Если стандартный базис состоит из 4-х векторов, то и нам нужно вычислить 4 ортонормированных вектора, которые составляют базис?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
AlinaDereni в сообщении #1636468 писал(а):
а сколько векторов нужно искать для базиса

AlinaDereni в сообщении #1636468 писал(а):
и сколько векторов нужно?

Четыре. Один уже у вас есть, который не трогайте (только пронормируйте). Дополните его ещё тремя вектора из стандартного базиса и запускайте процесс ортогонализации (не трогая первый вектор).

P.S. В ответе самый первый вектор выбросите. В ответе останется три вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение15.04.2024, 21:13 


15/04/24
5
мат-ламер в сообщении #1636470 писал(а):
AlinaDereni в сообщении #1636468 писал(а):
а сколько векторов нужно искать для базиса

AlinaDereni в сообщении #1636468 писал(а):
и сколько векторов нужно?

Четыре. Один уже у вас есть, который не трогайте (только пронормируйте). Дополните его ещё тремя вектора из стандартного базиса и запускайте процесс ортогонализации (не трогая первый вектор).

P.S. В ответе самый первый вектор выбросите. В ответе останется три вектора.


Взяла (1, 3, -1, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1)
$g_1=(1, 3, -1, 1)$
$g_2 = (0, 1, 0, 0) - 3/12 (1, 3, -1, 1) = 1/4 (-1, 1, 1, -1)$
$g_3 = (0, 0, 1, 0) + 1/12 (1, 3, -1, 1) - 0 = 1/12 (1, 3, 11, 1)$
$g_4 = (0, 0, 0, 1) - 1/12 (1, 3, -1, 1) - 0 - 0 = 1/12 (-1, -3, 1, 11)$

ну и там ортонормировать еще, я правильно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение16.04.2024, 04:12 
Заслуженный участник


16/02/13
4195
Владивосток
AlinaDereni, а что за $-0$ в третьей и четвёртой строках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение16.04.2024, 09:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
AlinaDereni в сообщении #1636479 писал(а):
ну и там ортонормировать еще, я правильно понимаю?

Да. Читайте условие:
AlinaDereni в сообщении #1636449 писал(а):
найти ортонормированный базис

Обычно по ходу процесса делают и нормировку.

Однако у вас по ходу и ортогонализация где-то пропадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгем, задача по арифм. пространствам. Ортогонализация
Сообщение16.04.2024, 09:48 


23/02/23
124
AlinaDereni в сообщении #1636479 писал(а):
Взяла (1, 3, -1, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1)

понятно, что решений может быть много, у Вас в качестве решения должно получиться три ортонормированных вектора. Если идти по классике - будет много арифметики, и можно ошибиться. Поэтому задумайтесь, а какие вектора взять, чтобы они сразу были бы ортогональны исходному и друг другу.

Вот например, возьмите пару первых координат и в них можно найти такой вектор $(3, -1, 0, 0)/\sqrt{10}$, то же самое сделайте со второй парой: $(0, 0, 1, 1)/\sqrt{2}$. Очевидно, что исходный и эти два уже все друг к другу ортогональны. Исходный, кстати, занормировать еще правильнее: $(1, 3, -1, 1)/\sqrt{12}$. Теперь можно догадаться, что $(1 \cdot a, 3 \cdot a, -1 \cdot b, 1 \cdot b)$ будет ортогональным для любых $a$ и $b$ двум нами предложенным и угадать эти $a$ и $b$ чтобы он стал ортогонален исходному, ну и по совместительству стал бы нормированным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group