Равномерная сходимость

[Evgenii2012]

Пусть $f_m:D\rightarrow D^{\,\prime},$ $D, D^{\,\prime}\subset {\Bbb R}^n,$ -- последовательность отображений, сходящаяся в $D$ равномерно к некоторому отображению $f:D\rightarrow D^{\,\prime}.$ Будет ли семейство отображений $f_m,$ $m=1,2,\ldots ,$ равномерно равностепенно непрерывно в $D?$ (Для всякого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что $|f_m(x)-f_m(y)|<\varepsilon$ для всех $m\in {\Bbb N}$ как только $|x-y|<\delta$). При необходимости можем считать область $D^{\,\prime}$ ограниченной, а каждое $f_m$ также можем полагать таким, что непрерывно продолжается на границу $D.$ Последовательность $f_m$ сходится равномерно только в $D$ (не в замыкании!). Предельное отображение $f$ не предполагаем a prioiri таким, что непрерывно продолжается на границу $D$

[mihaild]

Evgenii2012 в сообщении #1636151 писал(а):

равномерно равностепенно непрерывно в $D?$ (Для всякого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что $|f_m(x)-f_m(y)|<\varepsilon$ для всех $m\in {\Bbb N}$ как только $|x-y|<\delta$).

Это обычно называется просто "равностепенно непрерывно", без "равномерно".

Заметьте, что $f$ непрерывна, значит в близких точках значения отличаются не больше чем на $\varepsilon$, а сходимость равномерная, значит $f_m$ при больших $m$ отличается от $f$ тоже не более чем на $\varepsilon$ везде. Посмотрите, насколько могут отличаться значения $f_m$ в близких точках.

[Evgenii2012]

Спасибо за ответ, но пока я не очень согласен с такой логикой. Два раза по неравенству треугольника мы, конечно же получим примерно такое:

$$|f_m(x)-f_m(y)|\leqslant |f_m(x)-f(x)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f_m(y)|.$$

К первому и третьему слагаемому вопросов нет вообще никаких. Что касается второго слагаемого (непрерывности, как Вы пишите), есть проблемка: если $x$ і $y$ будут обе стремиться к некоторой граничной точке $x_0,$ то указанная разность, вообще говоря, к нулю не стремится (теорема Кантора не работает, так как $D$ не является компактом, а непрерывность $f$ на границе области $D$ не предполагается - я об этом писал)

-- 12.04.2024, 12:27 --

Это, кстати, именно равномерная равностепенная непрерывность. Просто равностепенная - это когда одна из точек фиксирована, например, $y=x_0$

[mihaild]

А теперь можно написать $|f(x) - f(y)| \leq |f_M(x) - f(x)| + |f_M(x) - f_M(y)| + |f(y) - f_M(y)|$.
(хотя можно было сразу сказать, что функции отличаются слабо не только от предельной, но и друг от друга)

Evgenii2012 в сообщении #1636153 писал(а):

Это, кстати, именно равномерная равностепенная непрерывность. Просто равностепенная - это когда одна из точек фиксирована, например, $y=x_0$

А где так написано? В Колмогорове-Фомине, издание 1976 года, на 110 странице это названо просто равностепенно непрерывным.

[Evgenii2012]

К сожалению, я опять Вас не очень понимаю ) Вероятно, вы имеете в виду, что $|f_M(x)-f_M(y)|<\varepsilon$ при $|x-y|<\delta.$ То есть, $f_M$ при фиксированном $M$ равномерно непрерывна в $D.$ Чего это так? Точки $x$ и $y$ могут бегать по области, даже непрерывность $f_M$ в замыкании (которую я предложил для упрощения, хотя интереснее было бы без этого условия) не сильно меняет дело.

Ваша попытка объяснить непрерывность $f$ через "почти что" равностепенную непрырывность семейства $f_m$ вообще мне не кажется очень удачной.

P.S. Я не поставил бы этот вопрос, если бы он был простой.

[mihaild]

А у Вас $D$ может быть неограниченным (соответственно замыкание $D$ некомпактным)?

Evgenii2012 в сообщении #1636165 писал(а):

То есть, $f_M$ при фиксированном $M$ равномерно непрерывна в $D.$ Чего это так?

Если разрешены функции, не равномерно непрерывные в $D$, то возьмем стационарную последовательность таких функций, она равномерно сходится, но не равностепенно непрерывна.

(Оффтоп)

Давненько не брал я в руки шашек, может быть где-то опять туплю, если так - мои извинения.

[Evgenii2012]

Спасибо, надо подумать. Я как-то тоже рассуждал как Вы, но что-то мне не нравилось.

-- 12.04.2024, 14:29 --

И что будет в случае, когда $f_m$ вообще не продолжается на границу $D$? Компактность замыкания уже не поможет

[mihaild]

Из равностепенной непрерывности следует равномерная непрерывность всех $f_m$ на $D$. А равномерно непрерывная функция непрерывно продолжается на замыкание.

-- 12.04.2024, 14:52 --

Я в другую сторону - если у нас недостаточно данных, чтобы установить равномерную непрерывность $f_m$, то тем более недостаточно данных, чтобы установить равностепеную непрерывность.
В частности, если $f_m$ не продолжается на границу, то $f_m$ не равномерно непрерывна, а значит семейство заведомо не равностепенно непрерывно.

В формулировке "$D$ ограничено, $f_m$ продолжается на $\overline{D}$" рассуждение выше проходит.
Если $D$ не ограничено, то есть контрпример $D = \mathbb R$, $f_m(x) = f(x) = \sin\left(x^2\right)$.
Если $D$ ограничено, но $f_m$ не обязательно продолжается на $\overline{D}$, то есть контрпример $D = \mathbb R$, $f_m(x) = f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$.

[Evgenii2012]

Чётко, спасибо.