2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 12:37 


09/11/12
233
Донецк
Пусть $f_m:D\rightarrow D^{\,\prime},$ $D, D^{\,\prime}\subset {\Bbb R}^n,$ -- последовательность отображений, сходящаяся в $D$ равномерно к некоторому отображению $f:D\rightarrow  D^{\,\prime}.$ Будет ли семейство отображений $f_m,$ $m=1,2,\ldots ,$ равномерно равностепенно непрерывно в $D?$ (Для всякого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что $|f_m(x)-f_m(y)|<\varepsilon$ для всех $m\in {\Bbb N}$ как только $|x-y|<\delta$). При необходимости можем считать область $D^{\,\prime}$ ограниченной, а каждое $f_m$ также можем полагать таким, что непрерывно продолжается на границу $D.$ Последовательность $f_m$ сходится равномерно только в $D$ (не в замыкании!). Предельное отображение $f$ не предполагаем a prioiri таким, что непрерывно продолжается на границу $D$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Evgenii2012 в сообщении #1636151 писал(а):
равномерно равностепенно непрерывно в $D?$ (Для всякого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что $|f_m(x)-f_m(y)|<\varepsilon$ для всех $m\in {\Bbb N}$ как только $|x-y|<\delta$).
Это обычно называется просто "равностепенно непрерывно", без "равномерно".

Заметьте, что $f$ непрерывна, значит в близких точках значения отличаются не больше чем на $\varepsilon$, а сходимость равномерная, значит $f_m$ при больших $m$ отличается от $f$ тоже не более чем на $\varepsilon$ везде. Посмотрите, насколько могут отличаться значения $f_m$ в близких точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 13:14 


09/11/12
233
Донецк
Спасибо за ответ, но пока я не очень согласен с такой логикой. Два раза по неравенству треугольника мы, конечно же получим примерно такое:

$$|f_m(x)-f_m(y)|\leqslant |f_m(x)-f(x)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f_m(y)|.$$ К первому и третьему слагаемому вопросов нет вообще никаких. Что касается второго слагаемого (непрерывности, как Вы пишите), есть проблемка: если $x$ і $y$ будут обе стремиться к некоторой граничной точке $x_0,$ то указанная разность, вообще говоря, к нулю не стремится (теорема Кантора не работает, так как $D$ не является компактом, а непрерывность $f$ на границе области $D$ не предполагается - я об этом писал)

-- 12.04.2024, 12:27 --

Это, кстати, именно равномерная равностепенная непрерывность. Просто равностепенная - это когда одна из точек фиксирована, например, $y=x_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
А теперь можно написать $|f(x) - f(y)| \leq |f_M(x) - f(x)| + |f_M(x) - f_M(y)| + |f(y) - f_M(y)|$.
(хотя можно было сразу сказать, что функции отличаются слабо не только от предельной, но и друг от друга)
Evgenii2012 в сообщении #1636153 писал(а):
Это, кстати, именно равномерная равностепенная непрерывность. Просто равностепенная - это когда одна из точек фиксирована, например, $y=x_0$
А где так написано? В Колмогорове-Фомине, издание 1976 года, на 110 странице это названо просто равностепенно непрерывным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 14:53 


09/11/12
233
Донецк
К сожалению, я опять Вас не очень понимаю ) Вероятно, вы имеете в виду, что $|f_M(x)-f_M(y)|<\varepsilon$ при $|x-y|<\delta.$ То есть, $f_M$ при фиксированном $M$ равномерно непрерывна в $D.$ Чего это так? Точки $x$ и $y$ могут бегать по области, даже непрерывность $f_M$ в замыкании (которую я предложил для упрощения, хотя интереснее было бы без этого условия) не сильно меняет дело.

Ваша попытка объяснить непрерывность $f$ через "почти что" равностепенную непрырывность семейства $f_m$ вообще мне не кажется очень удачной.

P.S. Я не поставил бы этот вопрос, если бы он был простой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
А у Вас $D$ может быть неограниченным (соответственно замыкание $D$ некомпактным)?
Evgenii2012 в сообщении #1636165 писал(а):
То есть, $f_M$ при фиксированном $M$ равномерно непрерывна в $D.$ Чего это так?
Если разрешены функции, не равномерно непрерывные в $D$, то возьмем стационарную последовательность таких функций, она равномерно сходится, но не равностепенно непрерывна.

(Оффтоп)

Давненько не брал я в руки шашек, может быть где-то опять туплю, если так - мои извинения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 15:25 


09/11/12
233
Донецк
Спасибо, надо подумать. Я как-то тоже рассуждал как Вы, но что-то мне не нравилось.

-- 12.04.2024, 14:29 --

И что будет в случае, когда $f_m$ вообще не продолжается на границу $D$? Компактность замыкания уже не поможет

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Из равностепенной непрерывности следует равномерная непрерывность всех $f_m$ на $D$. А равномерно непрерывная функция непрерывно продолжается на замыкание.

-- 12.04.2024, 14:52 --

Я в другую сторону - если у нас недостаточно данных, чтобы установить равномерную непрерывность $f_m$, то тем более недостаточно данных, чтобы установить равностепеную непрерывность.
В частности, если $f_m$ не продолжается на границу, то $f_m$ не равномерно непрерывна, а значит семейство заведомо не равностепенно непрерывно.

В формулировке "$D$ ограничено, $f_m$ продолжается на $\overline{D}$" рассуждение выше проходит.
Если $D$ не ограничено, то есть контрпример $D = \mathbb R$, $f_m(x) = f(x) = \sin\left(x^2\right)$.
Если $D$ ограничено, но $f_m$ не обязательно продолжается на $\overline{D}$, то есть контрпример $D = \mathbb R$, $f_m(x) = f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость
Сообщение12.04.2024, 16:59 


09/11/12
233
Донецк
Чётко, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group