Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией

[reterty]

Имеется функционал вида: $J(f)=\int_{0}^{\infty} \delta(x) f(x) \,dx $, где $\delta(x)$ -дельта-функция и $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$. Задача: показать что $J$ достигает экстремума на функции типа $f(x)=1/x$. Обычный Эйлер-Лагранж тут не проходит. Как быть-не знаю.. Прошу помощи.

[мат-ламер]

reterty

(Оффтоп)

Вы условие переписали полностью? А то мучают меня некие сомнения.

[Red_Herring]

reterty Сколько раз повторять, что этот интеграл не определен, кроме случая $f(0)=0$?

[EUgeneUS]

А откуда задача, можно поинтересоваться?
Потому что постановка весьма и весьма странная.

1. $J(f)=\int_{0+\varepsilon}^{\infty} \delta(x) f(x) \,dx = f(0)$ - по определению дельта-функции, если $\varepsilon >0$

А вот чему будет равен Ваш функционал, затрудняюсь сказать.

2. Если нижнюю границу области области интегрирования в область интегрирования включать, то, видимо, нужно считать так:

$J(f)=\int_{0}^{\infty} \delta(x) f(x) \,dx = f(0)$

и никакого экстремума функционала не достигается.

зачеркнул после ответа уважаемого Red_Herring

[reterty]

Да, ошибся. Там не $\delta(x)$ а $\delta(x-a)$, где $a>0$. И $f(x) =\rm const=f(a)$ при $x<a$. Прошу прощения.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1635980 писал(а):

Да, ошибся. Там не $\delta(x)$ а $\delta(x-a)$, где $a>0$. Прошу прощения.

И тогда:

$J(f)=\int_{0}^{\infty} \delta(x-a) f(x) \,dx = f(a)$

И с чего бы тут был экстремум функционала

reterty в сообщении #1635973 писал(а):

на функции типа $f(x)=1/x$.

?

[reterty]

EUgeneUS, мат-ламер
Задачу мне загадал знакомый, сформулировав ее следующим образом: "вывести выражение для потенциала поля равномерно заряженной сферы снаружи нее, пользуясь не уравнением Пуассона а применяя принцип наименьшего значения энергии электростатического поля, запасенной в пространстве вокруг сферы"

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1635980 писал(а):

Да, ошибся. Там не $\delta(x)$ а $\delta(x-a)$, где $a>0$. И $f(x) =\rm const=f(a)$ при $x<a$. Прошу прощения.

Тогда все нормально, и пишете уравнения Эйлера-Лагранжа даже без превращения функционала в $f(a)$ . $\delta(x-a)$ появляется в этом уравнении.

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1635984 писал(а):

reterty в сообщении #1635980 писал(а):

Да, ошибся. Там не $\delta(x)$ а $\delta(x-a)$, где $a>0$. И $f(x) =\rm const=f(a)$ при $x<a$. Прошу прощения.

Тогда все нормально, и пишете уравнения Эйлера-Лагранжа даже без превращения функционала в $f(a)$ . $\delta(x-a)$ появляется в этом уравнении.

.....вот только $f(x)$ в это уравнение совсем не входит. Получается: $\delta(x-a)=0$?????

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1635986 писал(а):

.вот только $f(x)$ в это уравнение совсем не входит.

И очевидно, что на классе всех функций, стремящихся к 0 на бесконечности этот функционал эакстрерума не имеет.

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1635995 писал(а):

reterty в сообщении #1635986 писал(а):

.вот только $f(x)$ в это уравнение совсем не входит.

И очевидно, что на классе всех функций, стремящихся к 0 на бесконечности этот функционал эакстрерума не имеет.

Если только..... если только вспомнить что дельта-функция есть функционал а не обычная функция и не пытаться использовать формализм производной Фреше. Но в тех краях моя нога еще точно не ступала)))

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1635983 писал(а):

вывести выражение для потенциала поля равномерно заряженной сферы снаружи нее

По-моему вам надо копать не в сторону решения математической задачи, а в сторону правильной формализации физической задачи. Бывает, что в учебниках УМФ в начале выводят уравнения именно из вариационной постановки.

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1635997 писал(а):

сли только..... если только вспомнить что дельта-функция есть функционал а

Ну и что? Ваш функционал $J$ on nad obyhnymi nepreryvnymi funkciqmi.

-- 10.04.2024, 13:47 --

reterty в сообщении #1635997 писал(а):

сли только..... если только вспомнить что дельта-функция есть функционал а

Ну и что? Ваш функционал $J$ он над обычными непрерывными функциями.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1635983 писал(а):

вывести выражение для потенциала поля равномерно заряженной сферы снаружи нее, пользуясь не уравнением Пуассона а применяя принцип наименьшего значения энергии электростатического поля, запасенной в пространстве вокруг сферы"

мат-ламер в сообщении #1635998 писал(а):

По-моему вам надо копать не в сторону решения математической задачи, а в сторону правильной формализации физической задачи.

Я вам советую начать подробно с самого начала. У вас что-то в самом начале не так (ИМХО). И постепенно сюда выкладывать промежуточные результаты. Например, что такое энергия электрического поля? Допустим интеграл от квадрата её напряжённости. Сначала формулы пишите в декартовых координатах. Затем переходим от напряжённости к потенциалу. То есть возникает интеграл от суммы квадратов частных производных. Затем переходим к сферическим координатам. Ввиду сферической симметрии получаем одномерную вариационную задачу с краевыми условиями. И т.д., и т.п.

(Оффтоп)

Правда, я ложусь спать. Так что без меня. Тем более мне рекомендовали в физику не лезть. И вообще, я мог неправильно вас понять.