2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 18:34 
Аватара пользователя


08/10/09
947
Херсон
Имеется функционал вида: $J(f)=\int_{0}^{\infty} \delta(x) f(x) \,dx $, где $\delta(x)$ -дельта-функция и $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$. Задача: показать что $J$ достигает экстремума на функции типа $f(x)=1/x$. Обычный Эйлер-Лагранж тут не проходит. Как быть-не знаю.. Прошу помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
reterty

(Оффтоп)

Вы условие переписали полностью? А то мучают меня некие сомнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
reterty Сколько раз повторять, что этот интеграл не определен, кроме случая $f(0)=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 19:05 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
А откуда задача, можно поинтересоваться?
Потому что постановка весьма и весьма странная.

1. $J(f)=\int_{0+\varepsilon}^{\infty} \delta(x) f(x) \,dx = f(0)$ - по определению дельта-функции, если $\varepsilon >0$

А вот чему будет равен Ваш функционал, затрудняюсь сказать.

2. Если нижнюю границу области области интегрирования в область интегрирования включать, то, видимо, нужно считать так:

$J(f)=\int_{0}^{\infty} \delta(x) f(x) \,dx = f(0)$

и никакого экстремума функционала не достигается.


зачеркнул после ответа уважаемого Red_Herring

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 19:22 
Аватара пользователя


08/10/09
947
Херсон
Да, ошибся. Там не $\delta(x)$ а $\delta(x-a)$, где $a>0$. И $f(x) =\rm const=f(a)$ при $x<a$. Прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 19:25 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
reterty в сообщении #1635980 писал(а):
Да, ошибся. Там не $\delta(x)$ а $\delta(x-a)$, где $a>0$. Прошу прощения.


И тогда:

$J(f)=\int_{0}^{\infty} \delta(x-a) f(x) \,dx = f(a)$

И с чего бы тут был экстремум функционала
reterty в сообщении #1635973 писал(а):
на функции типа $f(x)=1/x$.


?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 19:43 
Аватара пользователя


08/10/09
947
Херсон
EUgeneUS, мат-ламер
Задачу мне загадал знакомый, сформулировав ее следующим образом: "вывести выражение для потенциала поля равномерно заряженной сферы снаружи нее, пользуясь не уравнением Пуассона а применяя принцип наименьшего значения энергии электростатического поля, запасенной в пространстве вокруг сферы"

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
reterty в сообщении #1635980 писал(а):
Да, ошибся. Там не $\delta(x)$ а $\delta(x-a)$, где $a>0$. И $f(x) =\rm const=f(a)$ при $x<a$. Прошу прощения.
Тогда все нормально, и пишете уравнения Эйлера-Лагранжа даже без превращения функционала в $f(a)$ . $\delta(x-a)$ появляется в этом уравнении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 20:13 
Аватара пользователя


08/10/09
947
Херсон
Red_Herring в сообщении #1635984 писал(а):
reterty в сообщении #1635980 писал(а):
Да, ошибся. Там не $\delta(x)$ а $\delta(x-a)$, где $a>0$. И $f(x) =\rm const=f(a)$ при $x<a$. Прошу прощения.
Тогда все нормально, и пишете уравнения Эйлера-Лагранжа даже без превращения функционала в $f(a)$ . $\delta(x-a)$ появляется в этом уравнении.

.....вот только $f(x)$ в это уравнение совсем не входит. Получается: $\delta(x-a)=0$?????

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
reterty в сообщении #1635986 писал(а):
.вот только $f(x)$ в это уравнение совсем не входит.
И очевидно, что на классе всех функций, стремящихся к 0 на бесконечности этот функционал эакстрерума не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 21:11 
Аватара пользователя


08/10/09
947
Херсон
Red_Herring в сообщении #1635995 писал(а):
reterty в сообщении #1635986 писал(а):
.вот только $f(x)$ в это уравнение совсем не входит.
И очевидно, что на классе всех функций, стремящихся к 0 на бесконечности этот функционал эакстрерума не имеет.

Если только..... если только вспомнить что дельта-функция есть функционал а не обычная функция и не пытаться использовать формализм производной Фреше. Но в тех краях моя нога еще точно не ступала)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
reterty в сообщении #1635983 писал(а):
вывести выражение для потенциала поля равномерно заряженной сферы снаружи нее

По-моему вам надо копать не в сторону решения математической задачи, а в сторону правильной формализации физической задачи. Бывает, что в учебниках УМФ в начале выводят уравнения именно из вариационной постановки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
reterty в сообщении #1635997 писал(а):
сли только..... если только вспомнить что дельта-функция есть функционал а
Ну и что? Ваш функционал $J$ on nad obyhnymi nepreryvnymi funkciqmi.

-- 10.04.2024, 13:47 --

reterty в сообщении #1635997 писал(а):
сли только..... если только вспомнить что дельта-функция есть функционал а
Ну и что? Ваш функционал $J$ он над обычными непрерывными функциями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вариационного исчисления с дельта-функцией
Сообщение10.04.2024, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
reterty в сообщении #1635983 писал(а):
вывести выражение для потенциала поля равномерно заряженной сферы снаружи нее, пользуясь не уравнением Пуассона а применяя принцип наименьшего значения энергии электростатического поля, запасенной в пространстве вокруг сферы"

мат-ламер в сообщении #1635998 писал(а):
По-моему вам надо копать не в сторону решения математической задачи, а в сторону правильной формализации физической задачи.

Я вам советую начать подробно с самого начала. У вас что-то в самом начале не так (ИМХО). И постепенно сюда выкладывать промежуточные результаты. Например, что такое энергия электрического поля? Допустим интеграл от квадрата её напряжённости. Сначала формулы пишите в декартовых координатах. Затем переходим от напряжённости к потенциалу. То есть возникает интеграл от суммы квадратов частных производных. Затем переходим к сферическим координатам. Ввиду сферической симметрии получаем одномерную вариационную задачу с краевыми условиями. И т.д., и т.п.

(Оффтоп)

Правда, я ложусь спать. Так что без меня. Тем более мне рекомендовали в физику не лезть. И вообще, я мог неправильно вас понять.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group