2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение09.03.2024, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4654
dick в сообщении #1632319 писал(а):
Важно другое, именно то, что не касаясь (4.1)-(4.3) и (5.1)-(5.3), из правой части второго равенства (3) следует что разность соседних разностей несоседних кубов равна разности несоседних разностей соседних кубов.
Хорошо, тогда (4.1)-(4.3) и (5.1)-(5.3) из доказательства убираем. Напишите новый вариант. В частности, напишите формулами то, что Вы здесь сказали словами, и обоснуйте, как именно оно следует из (3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение11.03.2024, 21:58 


17/06/18
409
Извините, поспешил отвернуться от (4.1)-(4.3), (5.1)-(5.3), почудилось что то.
Почему 1, 8, 27? Потому что это кубы чисел 1, 2, 3. А почему 1, 2, 3? А потому, что в разложении (2) стоит $(x-1)^3$, $(x-2)^3$, $(x-3)^3$. В скобках каждого из трех слагаемых должен остаться куб, а если числа тройки изменятся, кубов не останется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение12.03.2024, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4654
dick
Каждый шаг в математическом рассуждении должен опираться на законы логики. У Вас это не так.
dick в сообщении #1632529 писал(а):
Почему 1, 8, 27? Потому что это кубы чисел 1, 2, 3. А почему 1, 2, 3? А потому, что в разложении (2) стоит
В (2) стоит, а в последующих выкладках стоять не обязано.
dick в сообщении #1632529 писал(а):
В скобках каждого из трех слагаемых должен остаться куб, а если числа тройки изменятся, кубов не останется.
Давайте подробнее. Каких конкретно трёх слагаемых, почему там должен остаться куб, почему с другими числами кубов не останется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение28.03.2024, 21:53 


17/06/18
409
Запишем (4.1)-(4.3) в нейтральном виде:
$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+b$ (4.4); $(z-2)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+c$ (4.5); $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+d$ (4.6); Где $b,c,d$ - натуральные числа, $b,d$-нечетные, а $c$- четное.
Очевидно, будет выполняться: $3b-3c+d=6$ (4.7);
Раскрывая скобки, получим:
$3(z-y)((z+y)-1)=3x(x-1)-(b-1)$ (4.8);
$6(z-y)((z+y)-2)=6x(x-2)-(c-8)$ (4.9);
$9(z-y)((z+y)-3)=9x(x-3)-(d-27)$ (4.10);
Число $b-1$ делится на 6, поскольку левая часть (4.8) и первое слагаемое правой части делятся на 6.
При условии, что $x$ не делится на 3, число $b-1$ делится на основание куба $(z-y)$, поскольку левая часть (4.8) делится на $(z-y)$, а первое слагаемое правой части делится на $(z-y)^{1/3}$.
Это же будет справедливым и в отношении чисел $(c-8)$ и $(d-27)$. Согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение28.03.2024, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4654
dick в сообщении #1634606 писал(а):
Запишем (4.1)-(4.3) в нейтральном виде:
$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+b$ (4.4); $(z-2)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+c$ (4.5); $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+d$ (4.6); Где $b,c,d$ - натуральные числа, $b,d$-нечетные, а $c$- четное.
Очевидно, будет выполняться: $3b-3c+d=6$ (4.7);
Раскрывая скобки, получим:
$3(z-y)((z+y)-1)=3x(x-1)-(b-1)$ (4.8);
$6(z-y)((z+y)-2)=6x(x-2)-(c-8)$ (4.9);
$9(z-y)((z+y)-3)=9x(x-3)-(d-27)$ (4.10);
Число $b-1$ делится на 6, поскольку левая часть (4.8) и первое слагаемое правой части делятся на 6.
Кажется, здесь всё верно.
dick в сообщении #1634606 писал(а):
число $b-1$ делится на основание куба $(z-y)$
Делится на что?
dick в сообщении #1634606 писал(а):
первое слагаемое правой части делится на $(z-y)^{1/3}$
Почему? $(z-y)^{1/3}$ это вообще целое число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение29.03.2024, 12:08 


17/06/18
409
Если $x$ не делится на 3, то $(z-y)$ это куб натурального числа, потому что в гипотетическом равенстве $x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ скобки правой части - взаимно простые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение29.03.2024, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4654
dick в сообщении #1634606 писал(а):
При условии, что $x$ не делится на 3, число $b-1$ делится на основание куба $(z-y)$ (т.е. на натуральное число $(z-y)^{1/3}$), поскольку левая часть (4.8) делится на $(z-y)$, а первое слагаемое правой части делится на $(z-y)^{1/3}$.
Это же будет справедливым и в отношении чисел $(c-8)$ и $(d-27)$. Согласны?
Не вижу ошибок здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение31.03.2024, 11:39 


15/10/20
63
dick в сообщении #1632028 писал(а):
Принимая $z$ и $y$ соседними, нетрудно убедиться что в отличии от кубов, равенства (8.1), (8.2) выполняются вместе с (6).

Вы принимаете z и y соседними числами. Но это только частный случай. То есть вы доказываете частный случай для кубов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение31.03.2024, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4654
Elfhybr в сообщении #1634916 писал(а):
Вы принимаете z и y соседними числами. Но это только частный случай. То есть вы доказываете частный случай для кубов?
Как я понимаю, это уже неактуальный вопрос. dick начал новое рассуждение, с начала, в сообщении от 28.03.2024, 21:53

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение31.03.2024, 16:34 


15/10/20
63
Mikhail_K в сообщении #1634918 писал(а):
Как я понимаю, это уже неактуальный вопрос. dick начал новое рассуждение, с начала, в сообщении от 28.03.2024, 21:53

Не нашел такого сообщения, наверное, взял паузу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение01.04.2024, 12:58 


17/06/18
409
Мне было достаточно того, что все квадраты достигаются разностью соседних квадратов.
Что касается нового рассуждения и старого, и того насколько "новое" зачеркивает "старое", предлагаю воздержаться от категоричности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение01.04.2024, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4654
dick
Старое рассуждение не является корректным математическим рассуждением.
Новое не закончено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение01.04.2024, 20:30 


15/10/20
63
dick в сообщении #1632028 писал(а):
Из (4.1) и (5.1) следует, что $z$ и $y$ - соседние числа.

То есть вы вначале показываете, что $x^3=z^3-y^3$ выполняется только для случая, когда z и y - соседние числа? А потом показываете, что для этого случая тоже нет целочисленных решений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение02.04.2024, 20:13 


15/10/20
63
dick в сообщении #1632028 писал(а):
Принимая $z$ и $y$ соседними, нетрудно убедиться что в отличии от кубов, равенства (8.1), (8.2) выполняются вместе с (6).

А на конкретных примерах? Можете привести тройку чисел, являющуюся решением этих трех уравнений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение07.04.2024, 09:30 


17/06/18
409
Ошибкой в первом сообщении темы является приравнивание правых частей (4.1) и (5.1), а также правых частей (4.2) и (5.2).
Такое приравнивание было бы справедливым, если бы мы с самого начала приняли числа $z$ и $y$ соседними.
Поскольку мы не вводили такого требования, указанные правые части будут разными, а именно: для соседних $z$ и $y$ тройка свободных членов правых частей будет 1, 8, 27, а для несоседних $z$ и $y$, тройка свободных членов правых частей будет $b, c, d$.
Но (4.7) можно записать так: $3((b-1)+1)-3((c-8)+8)+((d-27)+27)=6$ (4.7.1);
А еще так: $(3(b-1)-3(c-8)+(d-27))+(3-24+27)=6$ (4.7.2);
Поскольку вторая скобка левой части (4.7.2) это 6, постольку первая скобка левой части (4.7.2), при любых $b, c, d$ равна нулю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group