Числа Фибоначчи, знакочередование и floor(n/3)

[kthxbye]

Я думаю почти все знакомы с числами Фибоначчи. Они определяются как

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}, F_0=0, F_1=1$$

Кроме того,

$$F_{-n}=(-1)^{n-1}F_n$$

Пусть

$$G_n=F_{n-1} + F_{n+1}, G_0 = 1$$

В ходе некоторых экспериментов мною были получены следующие тождества:

$$\left[\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}2\left(\left\lfloor\frac{n-i}{3}\right\rfloor+1\right)F_{i-2}\right] + \left[\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\left(2\left\lfloor\frac{n-i+2}{3}\right\rfloor+1\right)G_{i-1}\right]=(-1)^nF_{n-2}$$

$$\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\left(2\left\lfloor\frac{n-i+2}{3}\right\rfloor+1\right)F_{i-2}+ (-1)^i 2\left(\left\lfloor\frac{n-i+1}{3}\right\rfloor+1\right)G_{i-1}=(-1)^nG_n$$

Вот программа на PARI/GP для проверки:

g(n) = if(n == 0, 1, fibonacci(n-1) + fibonacci(n+1))
test1(n) = (sum(i = 1, n-1, (-1)^(i-1)*2*((n-i)\3 + 1)*fibonacci(i-2)) + sum(i=1, n, (-1)^i*(2*((n-i+2)\3) + 1)*g(i-1))) == (-1)^n*fibonacci(n-2)
test2(n) = sum(i = 1, n, (-1)^(i-1)*(2*((n-i+2)\3) + 1)*fibonacci(i-2) + (-1)^i*2*((n-i+1)\3 + 1)*g(i-1)) == (-1)^n*g(n)

Существует ли способ как-то доказать это?

[kthxbye]

В более красивой форме будем иметь

$$F_n=(-1)^{n-1}\left[\left\lfloor\frac{2(n+1)}{3}\right\rfloor - \sum\limits_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\left(2\left\lfloor\frac{n-i+2}{3}\right\rfloor+1\right)F_{i}\right]$$

Проверка:

test3(n) = fibonacci(n) == (-1)^(n-1)*(2*(n+1)\3 - sum(i=1, n-1, (-1)^(i-1)*(2*((n-i+2)\3) + 1)*fibonacci(i)))