2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Числа Фибоначчи, знакочередование и floor(n/3)
Сообщение06.04.2024, 15:43 
Аватара пользователя


22/11/13
02/04/25
549
Я думаю почти все знакомы с числами Фибоначчи. Они определяются как
$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}, F_0=0, F_1=1$$
Кроме того,
$$F_{-n}=(-1)^{n-1}F_n$$
Пусть
$$G_n=F_{n-1} + F_{n+1}, G_0 = 1$$
В ходе некоторых экспериментов мною были получены следующие тождества:
$$\left[\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}2\left(\left\lfloor\frac{n-i}{3}\right\rfloor+1\right)F_{i-2}\right] + \left[\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\left(2\left\lfloor\frac{n-i+2}{3}\right\rfloor+1\right)G_{i-1}\right]=(-1)^nF_{n-2}$$
$$\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\left(2\left\lfloor\frac{n-i+2}{3}\right\rfloor+1\right)F_{i-2}+ (-1)^i 2\left(\left\lfloor\frac{n-i+1}{3}\right\rfloor+1\right)G_{i-1}=(-1)^nG_n$$

Вот программа на PARI/GP для проверки:
Код:
g(n) = if(n == 0, 1, fibonacci(n-1) + fibonacci(n+1))
test1(n) = (sum(i = 1, n-1, (-1)^(i-1)*2*((n-i)\3 + 1)*fibonacci(i-2)) + sum(i=1, n, (-1)^i*(2*((n-i+2)\3) + 1)*g(i-1))) == (-1)^n*fibonacci(n-2)
test2(n) = sum(i = 1, n, (-1)^(i-1)*(2*((n-i+2)\3) + 1)*fibonacci(i-2) + (-1)^i*2*((n-i+1)\3 + 1)*g(i-1)) == (-1)^n*g(n)


Существует ли способ как-то доказать это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи, знакочередование и floor(n/3)
Сообщение06.04.2024, 17:08 
Аватара пользователя


22/11/13
02/04/25
549
В более красивой форме будем иметь
$$F_n=(-1)^{n-1}\left[\left\lfloor\frac{2(n+1)}{3}\right\rfloor - \sum\limits_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\left(2\left\lfloor\frac{n-i+2}{3}\right\rfloor+1\right)F_{i}\right]$$

Проверка:
Код:
test3(n) = fibonacci(n) == (-1)^(n-1)*(2*(n+1)\3 - sum(i=1, n-1, (-1)^(i-1)*(2*((n-i+2)\3) + 1)*fibonacci(i)))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group