Задача из будущего ЕГЭ. Насколько корректно такое давать?

[EUgeneUS]

Ютуб подсунул ролик специалиста по ЕГЭ.вот

Если кратко. Предлагается задача:
$\frac{1}{\sin x} + \frac{3\sqrt{3}}{\cos x} =8$

Далее, делим на 8:

$\frac{1}{8 \sin x} + \frac{3\sqrt{3}}{8 \cos x} =1$ (1)

И вот тут нужно догадаться, что данное выражение ничто иное как:

$\frac{\sin^3 \alpha}{\sin x} + \frac{\cos^3 \alpha}{\cos x} =1$, где $\alpha = \pi/6$ (2)

И далее довольно громоздкими выкладками задача решается.

Вопрос, насколько корректно на ЕГЭ (не на олимпиаде) давать задачу, где нужно догадаться о переходе (1) $\to$ (2)?

ИМХО, это более уместно на олимпиадных заданиях, чем на экзамене по "стандартной" программе. Но могу ошибаться.

-- 04.04.2024, 15:28 --

UPD. Согласен, что синусы, косинусы, тангенсы стандартных углов нужно помнить и "знать в лицо".
Но кубы стандартных синусов, косинусов....

[espe]

Видел этот ролик. Не специалист по ЕГЭ.

1) Считаю, что это перебор.

2) Но если все другие варианты содержат задачу №13 такого же уровня сложности (в чём сомневаюсь), то ОК, при этом ЕГЭ других годов тоже должны иметь задачу №13 такого же уровня сложности.

[Booker48]

Это же Поступашки, пресловутый Михаил Абрамович.
Он под видом егэшных всегда разбирает олимпиадные задачи.
Сдабривая их выдуманными рассказами про СССР, сталинские задачи и проч.
Даже не знаю, можно ли ему верить хоть в чём-то (кроме собственно математики), Бояршинову он как-то дал интервью как полковник ПГУ КГБ СССР.

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1635285 писал(а):

И вот тут нужно догадаться,

Если без догадываний, то у меня мысль работала так:
1. Привести к общему знаменателю.
2. Слева формула дополнительного угла.
3. Справа формула двойного угла.
4. Всё переносим влево и опять формула дополнительного угла.
Но решать пока лень. Может позже вернусь.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1635290 писал(а):

4. Всё переносим влево и опять формула дополнительного угла.

Когда взял ручку, то этот пункт не прошёл. Извиняюсь. Задача сводится к нахождению пересечения окружности и гиперболы. В общем случае это уравнение четвёртой степени. Но вот, если повернуть систему координат (знать только, на какой угол), то окружность останется окружностью, а гипербола будет располагаться симметрично относительно осей координат. И уравнение четвёртой степени упростится.

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1635362 писал(а):

Когда взял ручку, то этот пункт не прошёл.

В ролике показано, что этот пункт непроходной.

[DimaM]

Посмотрел открытый вариант проф. за 2023 год.
Эта задача в нем отсутствует, подобных задач также нет.
Так что, как выше уже заметили, "специалист" буровит о чем-то своем, "специалистском".

[wrest]

У задачи три решения, одно из которых $x=2\pi k +\pi/6, k \in \mathbb{Z}$
Это решение легко угадать просто перебирая "известные" углы по возрастанию - попадание с первого раза.
А вот два других решения, канеш, на первый взгляд кажутся зубодробительными.
Так что найти это одно решение вроде легко.
Вольфрам даёт остальные два решения так
$x = 2 \left[\pi n + \arctan \left(6 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{13} (\sqrt{3} +2 )\right)\right], n \in \mathbb{Z}$
$x = 2 \left[\pi n + \arctan \left(6 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{13} ( \sqrt{3} +2)\right)\right], n \in \mathbb{Z}$
Выглядит запредельно
Вольфрам ещё говорит что вот это вот в арктангенсе, обозначим $y=\left[6 + 4 \sqrt{3} \pm \sqrt{13} ( \sqrt{3} +2)\right]$, является корнем вот такого полинома (ну и два лишних):
$1 - 24 y - 62 y^2 - 24 y^3 + y^4=0$

-- 05.04.2024, 11:59 --

EUgeneUS в сообщении #1635285 писал(а):

И вот тут нужно догадаться, что данное выражение ничто иное как:

$\frac{\sin^3 \alpha}{\sin x} + \frac{\cos^3 \alpha}{\cos x} =1$, где $\alpha = \pi/6$ (2)

И далее довольно громоздкими выкладками задача решается.

Но сразу видно, что подходит $x=\alpha$

[worm2]

Ага, мало того, что задача не ЕГЭшная, так она ещё и не олимпиадная

[wrest]

Ну тут вопрос как оценивают. Если, скажем, решения найдены, но не все, то что? Если ещё при это доказано что на $(0;\pi/2)$ других корней нет - это в плюс к баллам? Если в условиях допишут что искать решения только на $(0;\pi/2)+2\pi n$ то задача становится ЕГЭшной?

[ShMaxG]

EUgeneUS
В комментариях к тому видео есть вполне себе разумное решение с заменой $u=\sin{x}$, $v=\cos{x}$. Исходное уравнение сводится к уравнению четвертой степени, корень которого легко подбирается. Потом получается уравнение 3 степени, и там один корень легко подбирается. На мой взгляд, вполне нормальное решение, никаких "заметим, что", каждый шаг -- это привычное для ЕГЭ действие. Что Вы скажете об этом решении?

[gevaraweb]

EUgeneUS в сообщении #1635285 писал(а):

И вот тут нужно догадаться

С маткласса помнится мне, насколько неожиданно подленькими бывают задачки.
Может, эта задача на метод пристального взгляда (и хорошую память на таблицу значений синусов косинусов стандартных углов)?
Если долго-долго-долго смотреть на это:

$\frac{1}{\sin x} + \frac{3\sqrt{3}}{\cos x} =8$

то корень из тройки напоминает про 60°.
Возникает догадка: аа, чтоб корень сократился, нужно $\cos x =\frac{\sqrt{3}}{2}.$
аа, соответственно должно быть $\sin x =\frac{1}{2}.$
Проверяем:
$\frac{1}{ \frac{1}{2} } + \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =8$
2 + 6 = 8$ аа, и профит.
Ответ: $x = \pi/6+2\pi n$

[warlock66613]

gevaraweb, не хватает доказательства, что иных корней нет.

[gevaraweb]

warlock66613 в сообщении #1635446 писал(а):

не хватает доказательства, что иных корней нет.

Мда, другие корни попробовал искать из равенства:
$\frac{1}{\sin x} + \frac{3\sqrt{3}}{\cos x} = \frac{1}{\sin y} + \frac{3\sqrt{3}}{\cos y}$, где $y = \pi/6.$
Пришел к равенству
$\tg\frac{x-y}{2} \tg x = 1/3.$
Если школьник догадается, как найти $\tg(15°)$, может и придет к кубическому(?) уравнению, я остановился на этом шаге )

[gevaraweb]

Ошибочка, пришел к равенству
$\tg\frac{x+y}{2} \tg x = 1/3,$ где $y = \pi/6.$
Обозначим $\tg \frac{x}{2} = t, \tg 15° = z = 2-\sqrt{3}$, получим кубическое уравнение
$zt^3-7t^2-7zt+1=0$
Я не смог его решить (в лоб). Вольфрам дает решение
$t = 2-\sqrt{3} = z $
$t = 6 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{13} (\sqrt{3} + 2) $
$t = 6 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{13} (\sqrt{3} + 2) $
Первое решение - это опять $\pi/6.$ Ну осталось взять арктангенс:
$x = 2\arctg(t) + 2\pi n.$