кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1634989 писал(а):

Вот это непонятно. Разве меньше 7 было?

Здесь речь идёт о так называемом правом крае, то есть о максимально загрязнённых кортежах. На наших глазах граница максимальной загрязнённости понизилась с 8 до 7. Но ещё ниже она уже не станет, так и будет 7.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1634995 писал(а):

vicvolf в сообщении #1634989 писал(а):

Вот это непонятно. Разве меньше 7 было?

Здесь речь идёт о так называемом правом крае, то есть о максимально загрязнённых кортежах. На наших глазах граница максимальной загрязнённости понизилась с 8 до 7. Но ещё ниже она уже не станет, так и будет 7.

Понизилась. как я и говорил. но не повысилась до 7.

[Yadryara]

vicvolf, рад что разногласия исчерпаны.

Я пока не сдался, но оптимизма поубавилось. Даже когда добавляется лишь одна переменная $b (c1g1)$ , довольно сложно понять откуда берутся те или иные числа.

v=[0, 12, 24]+
7#: 0, 0, 2, 2, 12, sum=16
11#: 0, 2, 20, 48, 58, sum=128

Вот попытка наглядно изобразить этот переход:

                         3-24

        7#                -->                    11#

                                                   2   vc[4]
                                                 /
                  S           c     b    g    e / 20   vc[5] 
                                               / /
                             c1  c1g1   g1    0 / 48   vc[6]
                                           +   / /
vc[5]    2*11    22    2*3    4     2    2   14 / 58   vc[7]
                                           +   / /
vc[6]    2*11    22    2*3    6     0    6   10 /           
                                           +   /
vc[7]   12*11   132   12*3   26    10   38   58             
______________________________________________
        16*11   176          36 +  12                  
                               \  /
                      16*3      48

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1634899 писал(а):

c1g1 = [0,0,0,0,0,0,2,2];

Вот так раньше было при $7\#$.

Yadryara в сообщении #1635266 писал(а):

Даже когда добавляется лишь одна переменная $b (c1g1)$ , довольно сложно понять откуда берутся те или иные числа.

v=[0, 12, 24]+
7#: 0, 0, 2, 2, 12, 

Где нули с левого края и что это за 12?

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1635276 писал(а):

Где нули с левого края и что это за 12?

Нули с левого края не показываются чтобы ещё больше не усложнять картинку. Так это 12 тех самых 7-к, о которых я не только говорил, но и показывал их все:

Yadryara в сообщении #1634976 писал(а):

Ну так их не 4 осталось, а 12. Вот я их выписал:

Теперь добавил нули и ещё кое-что на картинку:

                         3-24

        7#                -->                    11#

                                                   2   vc[4]
                                                 /
vc[3]    0*11     S           c     b    g    e / 20   vc[5] 
                                               / /
vc[4]    0*11                c1  c1g1   g1    0 / 48   vc[6]
                                           +   / /
vc[5]    2*11    22    2*3    4     2    2   14 / 58   vc[7]
                                           +   / /
vc[6]    2*11    22    2*3    6     0    6   10 /           
                                           +   /
vc[7]   12*11   132   12*3   26    10   38   58             
_______________________________________________
        16*11   176          36 +  12                  
                               \  /
                      16*3 =    48

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1635276 писал(а):

c1g1 = [0,0,0,0,0,0,2,2]; Вот так раньше было при $7\#$.

7#: 0, 0, 2, 2, 12, 

Где нули с левого края и что это за 12?

Вы решили, что это один и тот же массив? Они разные.

Вверху — c1g1[]
Внизу — vc[]

А на схеме 6 различных массивов. Ещё S[], c1[], g1[] и e[]. Чтобы считать от половины диаметра использовались 5 массивов, чтобы считать от четверти — 7 массивов (ещё и g2[]).

Я поймал промежуточную ситуацию, когда массив g2[] обнулился.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1635266 писал(а):

v=[0, 12, 24]+
11#: 0, 2, 20, 48, 58, sum=128

А вот здесь 48 кортежей длиной 8, 20 кортежей длиной 7 и 2 кортежа длиной 6. Таким образом, с ростом $p\#$ появляются кортежи меньшей длины?

-- 04.04.2024, 17:44 --

Dmitriy40 в сообщении #1634708 писал(а):

v=[0, 6, 12, 30, 42];
3#: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, sum=2
5#: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, sum=4
7#: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 2, sum=12
11#: 0, 0, 0, 1, 7, 34, 28, 2, sum=72
13#: 0, 0, 2, 28, 160, 269, 111, 6, sum=576
17#: 0, 4, 109, 830, 2468, 2621, 838, 42, sum=6912
19#: 4, 268, 3702, 18453, 37609, 29250, 7188, 294, sum=96768
23#: 340, 11960, 114591, 427231, 672776, 423378, 88314, 3234, sum=1741824, OK
[/code]

А здесь в строке $23\#$ 3234 кортежа длиной 8, 88314 кортежа длиной 7, 423378 кортежа длиной 6, 672776 кортежа длиной 5, 427231 кортежа длиной 4, 114591 кортеж длиной 3, 11960 кортеж длиной 2 и 340 кортежей длиной 1. Но ведь исходный кортеж длиной 5. Наверно нули здесь тоже не указывались, поэтому 340 кортежей длиной 6? Таким образом, здесь тоже с ростом $p\#$ появляются кортежи меньшей длины? А кортежи максимальной длины появляются сразу и не надо их смотреть дальше.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1635295 писал(а):

А вот здесь 48 кортежей длиной 8, 20 кортежей длиной 7 и 2 кортежа длиной 6.

Не-а. Максимальная длина здесь 7, уже обсудили. Их было 12, а стало 58. Так что длина на 2 меньше: 48 кортежей длиной 6, 20 кортежей длиной 5 и 2 кортежа длиной 4.

vicvolf в сообщении #1635295 писал(а):

Таким образом, с ростом $p\#$ появляются кортежи меньшей длины?

Конечно. Пока не начнут появляться чистые, то есть длиной 3. И их доля среди всех будет расти.

vicvolf в сообщении #1635295 писал(а):

А здесь в строке $23\#$ 3234 кортежа длиной 8, 88314 кортежа длиной 7, 423378 кортежа длиной 6, 672776 кортежа длиной 5, 427231 кортежа длиной 4, 114591 кортеж длиной 3, 11960 кортеж длиной 2 и 340 кортежей длиной 1.

Здесь на 4 ошиблись, причём уже в другую сторону: максимум здесь 12, а не 8. 3234 кортежа длиной 12.

Да и что это за кортежи длиной меньше 5 ?? Меньше быть не может.

vicvolf в сообщении #1635295 писал(а):

Наверно нули здесь тоже не указывались, поэтому 340 кортежей длиной 6?

Длиной 5. То есть 340 чистых.

vicvolf в сообщении #1635295 писал(а):

Таким образом, здесь тоже с ростом $p\#$ появляются кортежи меньшей длины?

Теперь уже нет, ведь уже дошли до минимума, до 5.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1634873 писал(а):

Но надежды заметить закономерности для массивов c1g1 и g2 и быстро их вычислять, пока не оправдались. Сам я их пока что вычислял перебором.

Есть продвижение.

Если прям для полной надёжности ограничиться симметричными тройками, то $c1g1$ для первого ненулевого $vc[4]$ либо 2, либо 0. Если разница между диаметром и $p_i$ при $p_i\#$ кратна 5, то 0, иначе 2. $c1g1$ я обозначил $b$, так что формула такая:

$vc_i[4]=2vc_{i-1}[5]-b$

Примеры.

v=[0, 24, 48]+
13#: 0, 0, 0, 0, 2, 44, 286, 454,
17#: 0, 0, 0, 12, 246, 1952, 5258, 6112,
19#: 0, 0, 36, 1242, 12344, 50126, 93184, 84626,
23#: 0, 72, 4332, 69716, 443326, 1297482, 1884968,

$48-23 = 25; b = 0$

$23\# : vc[4]=2\cdot36-0 = 72$


v=[0, 42, 84]
29#: 0, 0, 0, 0, 4, 1424,
31#: 0, 0, 0, 104, 10584, 336882,
37#: 0, 0, 462, 52702, 2102242, 39430922,
41#: 0, 922, 173122, 10114884, 264451498, 3690470360,

$84-41 = 43; b = 2$

$41\# : vc[4]=2\cdot462-2 = 922$

Обобщать дальше пока не решаюсь.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1634708 писал(а):

v=[0, 6, 12, 30, 42];
3#: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, sum=2
5#: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, sum=4
7#: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 2, sum=12
11#: 0, 0, 0, 1, 7, 34, 28, 2, sum=72
13#: 0, 0, 2, 28, 160, 269, 111, 6, sum=576
17#: 0, 4, 109, 830, 2468, 2621, 838, 42, sum=6912
19#: 4, 268, 3702, 18453, 37609, 29250, 7188, 294, sum=96768
23#: 340, 11960, 114591, 427231, 672776, 423378, 88314, 3234, sum=1741824, OK
[/code]

Кортеж имеют диаметр 42. Как понять, что в $5\#=30$ умещается 2 таких кортежа?

[Yadryara]

Очень хороший вопрос. Хотя я говорил, что пока традиционно смотрю по начальному числу. Да вот же яркий пример был:

Yadryara в сообщении #1634899 писал(а):

  209 211         217     221 223     227 229     233                8

Здесь только одно число попадает в 7# — 209.

Вот ещё важный момент, который я теперь учитываю.

Yadryara в сообщении #1633344 писал(а):

Например, малопростых чисел на конкретном отрезке всё же на чуть-чуть меньше чем простых, но я это пока игнорировал.

Допустим, речь снова о строке 23#. Числа $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ простые, но не малопростые, в кортежах, найденных этим способом, их нет. А $1$ , наоборот, не простое, но малопростое и в кортежах фигурирует.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1635366 писал(а):

$vc_i[4]=2vc_{i-1}[5]-b$

Запишу проще: vc[#v+1]=2*vc[#v+2]-if((v[#v]-p)%5==0,0,2).
Из проверенных мною это правило:

Нарушается для:
v=[0, 6, 12]+
v=[0, 6, 18, 30, 36]+
v=[0, 18, 24, 30, 48]+
v=[0, 18, 30, 42, 60]+
v=[0, 24, 30, 36, 60]+
v=[0, 6, 30, 54, 60]+
v=[0, 12, 36, 60, 72]+
v=[0, 30, 36, 42, 72]+
v=[0, 6, 36, 66, 72]+
v=[0, 12, 42, 72, 84]+
v=[0, 24, 42, 60, 84]+
v=[0, 30, 42, 54, 84]+
v=[0, 18, 48, 78, 96]
v=[0, 30, 48, 66, 96]
v=[0, 12, 30, 36, 42, 60, 72]+
v=[0, 6, 30, 36, 42, 66, 72]+
v=[0, 12, 24, 42, 60, 72, 84]+
v=[0, 12, 30, 42, 54, 72, 84]+
v=[0, 24, 30, 42, 54, 60, 84]+
v=[0, 18, 36, 48, 60, 78, 96]
v=[0, 6, 18, 48, 78, 90, 96]+
v=[0, 6, 30, 48, 66, 90, 96]+
v=[0, 6, 36, 48, 60, 90, 96]+
v=[0, 12, 24, 30, 42, 54, 60, 72, 84]+
v=[0, 6, 18, 36, 48, 60, 78, 90, 96]+
v=[0, 18, 24, 48, 54, 60, 84, 90, 108]+\\Центральная 9
v=[0, 6, 12, 18, 30, 36]\\Несимметричный!

Выполняется для:
v=[0, 12, 24]+
v=[0, 18, 36]+
v=[0, 24, 48]+
v=[0, 30, 60]+
v=[0, 36, 72]+
v=[0, 42, 84]+
v=[0, 48, 96]
v=[0, 12, 30, 48, 60]+
v=[0, 36, 48, 60, 96]
v=[0, 6, 48, 90, 96]
v=[0, 12, 18, 30, 42, 48, 60]+
v=[0, 6, 12, 30, 42]\\Несимметричный!

Судя по списку для троек это скорее правило, хоть и с исключениями, а для остальных - скорее случайность.

PS. Если что я 67# для 19-252 уже посчитал, как и правые 7 элементов по 127#, и теперь жду когда же их можно будет применить для вычисления 113# для 19-252.

[Yadryara]

Dmitriy40, а я-то думал куда Вы пропали

Dmitriy40 в сообщении #1635387 писал(а):

Судя по списку для троек это скорее правило, хоть и с исключениями

Это теорема. То есть у меня обоснование есть. Лень расписывать просто.

В смысле, с исключениями? Я вижу только одно исключение — самый крошечный кортеж.

Dmitriy40 в сообщении #1635387 писал(а):

Если что я 67# для 19-252 уже посчитал, как и правые 7 элементов по 127#, и теперь жду когда же их можно будет применить для вычисления 113# для 19-252

Быстро же Вы!

А есть ли мысли по теоретической части?

[gris]

Цитата:

Prime numbers are roots of integers. Over millennia, nobody has been able to predict where prime numbers sprout or how they spread. It has been believed that primes grow like weeds among natural numbers. This study nevertheless establishes the Periodic Table of Primes using four prime numbers of 2, 3, 5, and 7.

Уж два месяца все молчат. Или я пропустил главное?

[Yadryara]

Вот те самые св-близнецы. Возьмём их не абы где, а вплотную, по обе стороны от праймориала, ибо там пустоты: $17\cdot 30029$ и $17\cdot30031$. Паттерн 3-36:

510493 на 36-м                   Нет кортежа (..5    на 18-м)

510493 на 18-м                   Нет кортежа (..5    на  0-м)      

510493 на  2-м, ..527 на 36-м    491 493   509 511   527          5   c1g1

510493 на  0-м, ..527 на 34-м    493   509 511   527 529          5   c1g1

510527 на 18-м                   Нет кортежа (..5    на 36-м)

510527 на  0-м                   Нет кортежа (..5    на 18-м)

Вот они, те самые два кортежа с самой маленькой ненулевой длиной. И каждый получает c1g1. Поэтому вычет равен двум.

А теперь возьмём других св-близнецов. Точно так же, вплотную, по обе стороны от праймориала: $23\cdot 9699689$ и $23\cdot9699691$. Паттерн 3-48:

223092847 на 48-м                   99 03 09 11 17 23 27 29 33 39 41 47   12  c1

223092847 на 24-м                   23 27 29 33 39 41 47   69 71           9  c1  

223092847 на  2-м, ..93 на 48-м     Нет кортежа (..5    на 0-м)

223092847 на  0-м, ..93 на 46-м     Нет кортежа (..5    на 48-м)

223092893 на 24-м                   69 71   93 99 01 07 11 13 17           9  c1  

223092893 на  0-м                   93 99 01 07 11 13 17 23 29 31 37 41   12  c1

Видите, оба не проходят по модулю 5 и из-за этого нулевой вычет.

Аналогичные методы можно применять и дальше, ведь самые чистые кортежи не хаотично гнездятся, а там, где есть местечко.