Найти наименьшее значение функции

[student]

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\sqrt{x^2 - 10 x + 45} + \sqrt{x^2 - 2 \sqrt{5} x + 11} + \sqrt{ x^2 - 2 x + 5}$.

[worm2]

$f(x)=A(x)+B(x)+C(x)$.
Сравнительно несложными методами математического анализа устанавливаем, что $A(x)+C(x)$ имеет единственный минимум в точке $\sqrt{5}$.
$B(x)$ также имеет единственный минимум в точке $\sqrt{5}$.
Но ответ не очень красивый получается.

[student]

worm2 в сообщении #1634378 писал(а):

$f(x)=A(x)+B(x)+C(x)$.
Сравнительно несложными методами математического анализа устанавливаем, что $A(x)+C(x)$ имеет единственный минимум в точке $\sqrt{5}$.
$B(x)$ также имеет единственный минимум в точке $\sqrt{5}$.
Но ответ не очень красивый получается.

Да я тоже с помощью матанализа получил $\sqrt{5}$. Но решение получился громоздким. Подумал может быть еще более простое решение есть?

[TOTAL]

student в сообщении #1634384 писал(а):

Подумал может быть еще более простое решение есть?

Без матанализа решал. Здесь суммируются длины трёх отрезков (нижние концы на оси абсцисс фиксированы, а верхние имеют переменную координату $x$). При $x=\sqrt{5}$ один отрезок вертикальный, а два других имеют наклон разного знака.

[Rak so dna]

student в сообщении #1634375 писал(а):

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\sqrt{x^2 - 10 x + 45} + \sqrt{x^2 - 2 \sqrt{5} x + 11} + \sqrt{x^2 - 2 x + 5}$.

$f(x)=\sqrt{\left(5-x\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2+2^2} + \sqrt{\left(x-\sqrt{5}\right)^2 + 6}\geq$

$\geq \sqrt{\left(5-x+x-1\right)^2+\left(2\sqrt{5}+2\right)^2} + \sqrt{\left(x-\sqrt{5}\right)^2 + 6}\geq 2\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} + \sqrt{6}$

Здесь мы воспользовались неравенством Минковского:

Для $a_i,b_i\geq0,~p\geq1,~\Bigl(\sum{a_i^p}\Bigr)^\frac{1}{p}+\Bigl(\sum{b_i^p}\Bigr)^\frac{1}{p}\geq \Bigl(\sum{\left(a_i+b_i\right)^p}\Bigr)^\frac{1}{p}$

[Gyros]

Понравилась геометрическая трактовка - сделал визуализацию:


Минимум когда сиреневый отрезок вертикален