2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти наименьшее значение функции
Сообщение27.03.2024, 10:30 


28/12/05
160
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\sqrt{x^2 - 10 x + 45} + \sqrt{x^2 - 2 \sqrt{5} x + 11} + \sqrt{
 x^2 - 2 x + 5}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти наименьшее значение функции
Сообщение27.03.2024, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3053
Уфа
$f(x)=A(x)+B(x)+C(x)$.
Сравнительно несложными методами математического анализа устанавливаем, что $A(x)+C(x)$ имеет единственный минимум в точке $\sqrt{5}$.
$B(x)$ также имеет единственный минимум в точке $\sqrt{5}$.
Но ответ не очень красивый получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти наименьшее значение функции
Сообщение27.03.2024, 11:51 


28/12/05
160
worm2 в сообщении #1634378 писал(а):
$f(x)=A(x)+B(x)+C(x)$.
Сравнительно несложными методами математического анализа устанавливаем, что $A(x)+C(x)$ имеет единственный минимум в точке $\sqrt{5}$.
$B(x)$ также имеет единственный минимум в точке $\sqrt{5}$.
Но ответ не очень красивый получается.

Да я тоже с помощью матанализа получил $\sqrt{5}$. Но решение получился громоздким. Подумал может быть еще более простое решение есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти наименьшее значение функции
Сообщение27.03.2024, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
student в сообщении #1634384 писал(а):
Подумал может быть еще более простое решение есть?
Без матанализа решал. Здесь суммируются длины трёх отрезков (нижние концы на оси абсцисс фиксированы, а верхние имеют переменную координату $x$). При $x=\sqrt{5}$ один отрезок вертикальный, а два других имеют наклон разного знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти наименьшее значение функции
Сообщение29.03.2024, 08:50 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
student в сообщении #1634375 писал(а):
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\sqrt{x^2 - 10 x + 45} + \sqrt{x^2 - 2 \sqrt{5} x + 11} + \sqrt{x^2 - 2 x + 5}$.


$f(x)=\sqrt{\left(5-x\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2+2^2} + \sqrt{\left(x-\sqrt{5}\right)^2 + 6}\geq$

$\geq \sqrt{\left(5-x+x-1\right)^2+\left(2\sqrt{5}+2\right)^2} + \sqrt{\left(x-\sqrt{5}\right)^2 + 6}\geq 2\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} + \sqrt{6}$

Здесь мы воспользовались неравенством Минковского:

Для $a_i,b_i\geq0,~p\geq1,~\Bigl(\sum{a_i^p}\Bigr)^\frac{1}{p}+\Bigl(\sum{b_i^p}\Bigr)^\frac{1}{p}\geq \Bigl(\sum{\left(a_i+b_i\right)^p}\Bigr)^\frac{1}{p}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти наименьшее значение функции
Сообщение04.04.2024, 13:31 
Аватара пользователя


04/03/21
29
Понравилась геометрическая трактовка - сделал визуализацию:
Изображение

Минимум когда сиреневый отрезок вертикален
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group