Найти энергию приобретенную осцилятором под действием силы

[Cosmochelik]

Определить энергию E, приобретённую осциллятором под действием силы $F(t) = F e ^{-(\frac{t}{\tau}) ^2}$ за всё время её действия, если при $t \to -\infty $, амплитуда колебаний равна а.
Я использую формулу из ЛЛ параграфа 22 (Немного модифицировав, надеюсь верно)
$ E = \frac{1}{2m} {\left\lvert \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(t) e^{-i \omega t} dt + \xi_{-\infty} \right\rvert}^2 $
При этом я нахожу $ \xi_{-\infty} $, из того соображения что при $t \to -\infty $ у нас $x = a \cos (\omega t + \varphi)$
Тогда
$\xi = \dot{x}_{-\infty} + i\omega x_{-\infty} = - a \omega \sin(\omega t + \varphi) + i\omega a \cos (\omega t + \varphi) = $
$= -i a \omega (-i \sin(\omega t + \varphi) - \cos(\omega t + \varphi)) = i a \omega e^{i \omega t}$
И из формулки $ \xi =e^{i \omega t} ( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac {F(t) e^{-i \omega t}}{m} dt + \xi_{-\infty}) $
Получим $ \xi_{-\infty} = i \omega $
Нооо, вообщем у меня при вычислении интеграла для энергии в итоге не совпадает ответ.

[amon]

Cosmochelik в сообщении #1634964 писал(а):

Я использую формулу из ЛЛ параграфа 22 (Немного модифицировав, надеюсь верно)
$ E = \frac{1}{2m} {\left\lvert \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(t) e^{-i \omega t} dt + \xi_{-\infty} \right\rvert}^2 $

Откуда это чудо взялось объяснить можете?

[Cosmochelik]

Несколько косяков:

Цитата:

$\xi = \dot{x}_{-\infty} + i\omega x_{-\infty} = - a \omega \sin(\omega t + \varphi) + i\omega a \cos (\omega t + \varphi) = $
$= -i a \omega (-i \sin(\omega t + \varphi) - \cos(\omega t + \varphi)) = i a \omega e^{i \omega t}$
И из формулки $ \xi =e^{i \omega t} ( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac {F(t) e^{-i \omega t}}{m} dt + \xi_{-\infty}) $

В конце должно быть $i a \omega e^{i \omega t + i \varphi}$
И тогда $\xi_{-\infty} = i a \omega e^{i\varphi}$
Ну и в интеграле на тот момент лучше написать верхний предел t

-- 02.04.2024, 11:46 --

amon
$\ddot{x} + \omega^2 x = \frac{1}{m}F(t) $
$ \frac{d}{dt}(\dot{x} + i\omega x ) - i \omega (\dot{x} + i\omega x) = \frac{1}{m}F(t) $
$\xi =\dot{x} + i\omega x $
Получим уравнение $\dot{\xi} - i \omega \xi = \frac{1}{m}F(t) $
Решение однородного уравнения $\xi = A(t) e^{i \omega t}$
Подставив в уравнение получим другое уравнение для $A$
$\dot{A}(t) =\frac{1}{m}F(t) e^{-i \omega t} $
Интегрируя от бесконечности до $t$
$A(t) - A_{-\infty} = \int\limits_{-\infty}^{t } \frac{1}{m}F(t) e^{-i \omega t} dt$
Тогда $\xi = e^{i \omega t} (\int\limits_{-\infty}^{t } \frac{1}{m}F(t) e^{-i \omega t}dt + A_{-\infty}) $
Ну и я переобозначил $ \xi_{-\infty} = A_{-\infty}$
(Если вы знайте метод решения не используя этих страшных интегралов то тоже не плохо)

[amon]

Cosmochelik в сообщении #1635095 писал(а):

Тогда $\xi = e^{i \omega t} (\int\limits_{-\infty}^{t } \frac{1}{m}F(t)dt + A_{-\infty}) $

Это все замечательно и даже, вроде, верно. А $E,$ которое Вы сосчитали, - это что такое, и какое отношение оно имеет к энергии, приобретенной осциллятором за время действия силы?

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1635098 писал(а):

и даже, вроде, верно.

Не-а, не верно. Экспонента под интегралом мистическим образом исчезла. Но ваш вопрос остается даже если исправить.

[Cosmochelik]

Alex-Yu
Согласен, щя исправлю

-- 02.04.2024, 11:58 --

amon
Ландау говорит что это энергия, переданная осцилятору за все время
Мне кажеться, это будет энергия осцилятора в момент $t = \infty$

-- 02.04.2024, 12:03 --

Надо отнять наверное энергию в момент минус бесконечность по идее. В ЛЛ делаетья оговорка, что по умолчанию считает ее нулю

[amon]

Cosmochelik в сообщении #1635100 писал(а):

Надо отнять наверное энергию в момент минус бесконечность по идее. В ЛЛ делаетья оговорка, что по умолчанию считает ее нулю

Угу.

[Cosmochelik]

amon
Теперь все понятно, спасибо
Кстати, функция Лагранжа осцилятора при внешней силе $ L = \frac{1}{2}m\dot{x}^{2} - \frac{1}{2}m {\omega}^2 x^2 + Fx $
Это можно понять если написать уравнение Лагранжа по этой функции, и получить уравнение колебаний с внешней силой
Но тогда энергия будет иметь вид $E(t) = \frac{1}{2}m {\left\lvert \xi - \frac{ iF(t)}{m \omega} \right\rvert}^{2} - \frac{F^{2}(t)}{2m \omega^2}$
Что.. немного не похоже на выражение энергии выше. Может, при выводе в ЛЛ где то предполагалось что $F(t) = 0$ при

$$ t \to \infty$$

[amon]

Cosmochelik в сообщении #1635137 писал(а):

Что.. немного не похоже на выражение энергии выше.

Ваше $F$ зависит от $t$ и та энергия, что Вы написали, не сохраняется. Про энергию можно осмыслено говорить после того, как $F$ стала равной нулю.

[svv]

Cosmochelik в сообщении #1634964 писал(а):

при $t \to -\infty $ у нас $x = a \cos (\omega t + \varphi)$

А это $\varphi$ как-то учитывается в Вашем решении? Приобретённая осциллятором энергия от него зависит. Например, одно и то же кратковременное (по сравнению с периодом колебаний) воздействие $F(t)$ может как увеличить, так и уменьшить амплитуду колебаний при разных $\varphi$.