Кубы и квадраты

[Mikhail_K]

dick в сообщении #1632319 писал(а):

Важно другое, именно то, что не касаясь (4.1)-(4.3) и (5.1)-(5.3), из правой части второго равенства (3) следует что разность соседних разностей несоседних кубов равна разности несоседних разностей соседних кубов.

Хорошо, тогда (4.1)-(4.3) и (5.1)-(5.3) из доказательства убираем. Напишите новый вариант. В частности, напишите формулами то, что Вы здесь сказали словами, и обоснуйте, как именно оно следует из (3).

[dick]

Извините, поспешил отвернуться от (4.1)-(4.3), (5.1)-(5.3), почудилось что то.
Почему 1, 8, 27? Потому что это кубы чисел 1, 2, 3. А почему 1, 2, 3? А потому, что в разложении (2) стоит $(x-1)^3$, $(x-2)^3$, $(x-3)^3$. В скобках каждого из трех слагаемых должен остаться куб, а если числа тройки изменятся, кубов не останется.

[Mikhail_K]

dick
Каждый шаг в математическом рассуждении должен опираться на законы логики. У Вас это не так.

dick в сообщении #1632529 писал(а):

Почему 1, 8, 27? Потому что это кубы чисел 1, 2, 3. А почему 1, 2, 3? А потому, что в разложении (2) стоит

В (2) стоит, а в последующих выкладках стоять не обязано.

dick в сообщении #1632529 писал(а):

В скобках каждого из трех слагаемых должен остаться куб, а если числа тройки изменятся, кубов не останется.

Давайте подробнее. Каких конкретно трёх слагаемых, почему там должен остаться куб, почему с другими числами кубов не останется.

[dick]

Запишем (4.1)-(4.3) в нейтральном виде:
$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+b$ (4.4); $(z-2)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+c$ (4.5); $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+d$ (4.6); Где $b,c,d$ - натуральные числа, $b,d$-нечетные, а $c$- четное.
Очевидно, будет выполняться: $3b-3c+d=6$ (4.7);
Раскрывая скобки, получим:
$3(z-y)((z+y)-1)=3x(x-1)-(b-1)$ (4.8);
$6(z-y)((z+y)-2)=6x(x-2)-(c-8)$ (4.9);
$9(z-y)((z+y)-3)=9x(x-3)-(d-27)$ (4.10);
Число $b-1$ делится на 6, поскольку левая часть (4.8) и первое слагаемое правой части делятся на 6.
При условии, что $x$ не делится на 3, число $b-1$ делится на основание куба $(z-y)$, поскольку левая часть (4.8) делится на $(z-y)$, а первое слагаемое правой части делится на $(z-y)^{1/3}$.
Это же будет справедливым и в отношении чисел $(c-8)$ и $(d-27)$. Согласны?

[Mikhail_K]

dick в сообщении #1634606 писал(а):

Запишем (4.1)-(4.3) в нейтральном виде:
$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+b$ (4.4); $(z-2)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+c$ (4.5); $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+d$ (4.6); Где $b,c,d$ - натуральные числа, $b,d$-нечетные, а $c$- четное.
Очевидно, будет выполняться: $3b-3c+d=6$ (4.7);
Раскрывая скобки, получим:
$3(z-y)((z+y)-1)=3x(x-1)-(b-1)$ (4.8);
$6(z-y)((z+y)-2)=6x(x-2)-(c-8)$ (4.9);
$9(z-y)((z+y)-3)=9x(x-3)-(d-27)$ (4.10);
Число $b-1$ делится на 6, поскольку левая часть (4.8) и первое слагаемое правой части делятся на 6.

Кажется, здесь всё верно.

dick в сообщении #1634606 писал(а):

число $b-1$ делится на основание куба $(z-y)$

Делится на что?

dick в сообщении #1634606 писал(а):

первое слагаемое правой части делится на $(z-y)^{1/3}$

Почему? $(z-y)^{1/3}$ это вообще целое число?

[dick]

Если $x$ не делится на 3, то $(z-y)$ это куб натурального числа, потому что в гипотетическом равенстве $x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ скобки правой части - взаимно простые числа.

[Mikhail_K]

dick в сообщении #1634606 писал(а):

При условии, что $x$ не делится на 3, число $b-1$ делится на основание куба $(z-y)$ (т.е. на натуральное число $(z-y)^{1/3}$), поскольку левая часть (4.8) делится на $(z-y)$, а первое слагаемое правой части делится на $(z-y)^{1/3}$.
Это же будет справедливым и в отношении чисел $(c-8)$ и $(d-27)$. Согласны?

Не вижу ошибок здесь.

[Elfhybr]

dick в сообщении #1632028 писал(а):

Принимая $z$ и $y$ соседними, нетрудно убедиться что в отличии от кубов, равенства (8.1), (8.2) выполняются вместе с (6).

Вы принимаете z и y соседними числами. Но это только частный случай. То есть вы доказываете частный случай для кубов?

[Mikhail_K]

Elfhybr в сообщении #1634916 писал(а):

Вы принимаете z и y соседними числами. Но это только частный случай. То есть вы доказываете частный случай для кубов?

Как я понимаю, это уже неактуальный вопрос. dick начал новое рассуждение, с начала, в сообщении от 28.03.2024, 21:53

[Elfhybr]

Mikhail_K в сообщении #1634918 писал(а):

Как я понимаю, это уже неактуальный вопрос. dick начал новое рассуждение, с начала, в сообщении от 28.03.2024, 21:53

Не нашел такого сообщения, наверное, взял паузу?

[dick]

Мне было достаточно того, что все квадраты достигаются разностью соседних квадратов.
Что касается нового рассуждения и старого, и того насколько "новое" зачеркивает "старое", предлагаю воздержаться от категоричности.

[Mikhail_K]

dick
Старое рассуждение не является корректным математическим рассуждением.
Новое не закончено.

[Elfhybr]

dick в сообщении #1632028 писал(а):

Из (4.1) и (5.1) следует, что $z$ и $y$ - соседние числа.

То есть вы вначале показываете, что $x^3=z^3-y^3$ выполняется только для случая, когда z и y - соседние числа? А потом показываете, что для этого случая тоже нет целочисленных решений?

[Elfhybr]

dick в сообщении #1632028 писал(а):

Принимая $z$ и $y$ соседними, нетрудно убедиться что в отличии от кубов, равенства (8.1), (8.2) выполняются вместе с (6).

А на конкретных примерах? Можете привести тройку чисел, являющуюся решением этих трех уравнений?

[dick]

Ошибкой в первом сообщении темы является приравнивание правых частей (4.1) и (5.1), а также правых частей (4.2) и (5.2).
Такое приравнивание было бы справедливым, если бы мы с самого начала приняли числа $z$ и $y$ соседними.
Поскольку мы не вводили такого требования, указанные правые части будут разными, а именно: для соседних $z$ и $y$ тройка свободных членов правых частей будет 1, 8, 27, а для несоседних $z$ и $y$, тройка свободных членов правых частей будет $b, c, d$.
Но (4.7) можно записать так: $3((b-1)+1)-3((c-8)+8)+((d-27)+27)=6$ (4.7.1);
А еще так: $(3(b-1)-3(c-8)+(d-27))+(3-24+27)=6$ (4.7.2);
Поскольку вторая скобка левой части (4.7.2) это 6, постольку первая скобка левой части (4.7.2), при любых $b, c, d$ равна нулю.