Разностные уравнения.

[Hulk541]

Здравствуйте! Пишу курсовую по теме "Линейные разностные уравнения". Перелопатил кучу литературы по теме и у меня появился вопрос.
В книгах разностным уравнением с одной неизвестной функцией $f$ называется следующее соотношение

$F(x,f(x),\Delta f(x), \Delta^{(2)} f(x), \dots, \Delta^{(k)} f(x)) = 0,$

где функция $F$ задана, функция $f$ искомая, а $\Delta^{(k)} f$ - конечная разность вперёд порядка $k~(k \in N)$.
Разность вперёд функции $f$ в точке $x$ определяется следующей формулой

$\Delta^{(k)} f(x) = \sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}C_{k}^{i}f(x+ih)$

Так вот у меня появился вопрос. А почему обязательно разности вперёд ? Может ли следующее соотношение с разностями назад называться разностным уравнением

$F(x,f(x),\nabla f(x), \nabla^{(2)} f(x), \dots, \nabla^{(k)} f(x)) = 0,$

?
P.s. разность назад функции $f$ в точке $x$ определяется следующей формулой

$\nabla^{(k)} f(x) = \sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{i}C_{k}^{i}f(x-ih)$

$C_{k}^{i}$ - биноминальный коэффициент

[dgwuqtj]

Вроде смысл в том, что уравнение связывает значения функции в $k + 1$ последовательной точке, то есть это рекуррентное соотношение. Тогда можно вообще всё определять без конечных разностей. Ещё обычно хочется, чтобы значение в самой правой точке из этих $k + 1$ выражалось через остальные, для существования и единственности, это условие легко переформулировать только через "разности вперёд".

[Евгений Машеров]

Можно. Но поскольку соответствующая теория получается из "впередсмотрящей" сменой знака аргумента, она интереса не представляет и самостоятельно не развивается.

[Евгений Машеров]

Более того, если вообще не брать разностей, а работать со значениями в определённых точках непосредственно, это тоже предмет теории конечных разностей, тривиально сводимый к записи через разности.

[Hulk541]

Спасибо за разъяснения. Почему я вообще об этом задумался. Итак, в качестве основного источника информации по теме использую книгу "Исчисление конечных разностей" автор А.О. Гельфонд - 1959г.
Автор, как раз таки, даёт такое определение разностному уравнению

Hulk541 в сообщении #1634434 писал(а):

разностным уравнением с одной неизвестной функцией $f$ называется следующее соотношение

$F(x,f(x),\Delta f(x), \Delta^{(2)} f(x), \dots, \Delta^{(k)} f(x)) = 0,$

где функция $F$ задана, функция $f$ искомая, а $\Delta^{(k)} f$ - конечная разность вперёд порядка $k~(k \in N)$.

И далее пишет, что данное соотношение, если раскрыть в нём все разности по формуле

$\Delta^{(k)} f(x) = \sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}C_{k}^{i}f(x+ih),$

где $C_{k}^{i}$ - биноминальный коэффициент, для определённости положив $h = 1$, может быть переписано в виде

$\text{Ф}(x,f(x),f(x+1),\dots,f(x+k))=0~~(1)$

и, если уравнение $(1)$ разрешимо относительно $f(x+k)$, то его можно записать в следующей форме

$f(x+k) = \text{Ф}_{1}(x,f(x),f(x+1),\dots,f(x+k-1))~~(2),$

откуда видно, что если функция $\text{Ф}_{1}(x,y_1,y_2,\dots,y_k),$ определена при всех значениях $x$ вида

$x=x_0 + n,$

где $n \in Z$, и при любых $y_j \in R,~j=\overline{1,k}$, то значение $f(x+k)$ и вообще все значения $f(x+l)~(l \in Z)$ однозначно определяются по соотношению $(2)$ заданием при $x=x_0$ начальных значений

$f(x_0)=f_0,~f(x_0 + 1)=f_1,~,\dots,f(x_0 + k -1)=f_{k-1}$

И вот тут у меня непонятки с значениями $f(x+l)~(l \in Z)$. Как они определятся по соотношению (2) заданием при $x=x_0$ начальных значений ?

[dgwuqtj]

Hulk541 в сообщении #1634485 писал(а):

И вот тут у меня непонятки с значениями $f(x+l)~(l \in Z)$. Как они определятся по соотношению (2) заданием при $x=x_0$ начальных значений ?

В общем случае никак. Например, возьмите уравнение $f(k + 1) = (k + 1) f(k).$

[TOTAL]

Hulk541 в сообщении #1634434 писал(а):

Так вот у меня появился вопрос. А почему обязательно разности вперёд ? Может ли следующее соотношение с разностями назад называться разностным уравнением

$F(x,f(x),\nabla f(x), \nabla^{(2)} f(x), \dots, \nabla^{(k)} f(x)) = 0,$

Разностным уравнением называют ЛЮБОЕ уравнение, которое получено из дифференциального уравнения заменой входящих в него производных на аппроксимирующие их конечные разности.

[Утундрий]

Для пущего просветления могу посоветовать "Введение в теорию разностных схем" А. А. Самарского.

[Red_Herring]

Следует иметь в виду, что разностные уравнения могут возникать как сами по себе (например, как рекуррентный уравнения в задачах теории вероятностей или комбинаторики), так и из ОДУ или УЧП в которых производные заменяются на аппроксимиующие их конечные разности. В последнем случае еще говорят о разностных схемах, а также возникает вопрос об устойчивости при шаге стремящемся к 0. Судя по всему ТС интересует только первый случай, и только "обыкновенные" РУ (т.е. с одной переменной.

[Евгений Машеров]

Hulk541 в сообщении #1634485 писал(а):

И вот тут у меня непонятки с значениями $f(x+l)~(l \in Z)$. Как они определятся по соотношению (2) заданием при $x=x_0$ начальных значений ?

Как сказано, так и определяются. Просто не надо понимать эту фразу, как "задали значение при $x=x_0$, и всё покатилось".
Если в выражение входит k разностей (или k последовательных значений), то начальные условия это вектор из k элементов, а не одна величина.
Подставили - получили следующее, сдвинули набор на один шаг - следующее за ним. И так до полного удовлетворения.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

байка из личного опыта...
https://sanitareugen.livejournal.com/22287.html