2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разностные уравнения.
Сообщение27.03.2024, 19:09 


13/04/22
8
Здравствуйте! Пишу курсовую по теме "Линейные разностные уравнения". Перелопатил кучу литературы по теме и у меня появился вопрос.
В книгах разностным уравнением с одной неизвестной функцией $f$ называется следующее соотношение
$F(x,f(x),\Delta f(x), \Delta^{(2)} f(x), \dots, \Delta^{(k)} f(x)) = 0,$

где функция $F$ задана, функция $f$ искомая, а $\Delta^{(k)} f$ - конечная разность вперёд порядка $k~(k \in N)$.
Разность вперёд функции $f$ в точке $x$ определяется следующей формулой
$\Delta^{(k)} f(x) = \sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}C_{k}^{i}f(x+ih)$


Так вот у меня появился вопрос. А почему обязательно разности вперёд ? Может ли следующее соотношение с разностями назад называться разностным уравнением
$F(x,f(x),\nabla f(x), \nabla^{(2)} f(x), \dots, \nabla^{(k)} f(x)) = 0,$

?
P.s. разность назад функции $f$ в точке $x$ определяется следующей формулой
$\nabla^{(k)} f(x) = \sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{i}C_{k}^{i}f(x-ih)$

$C_{k}^{i}$ - биноминальный коэффициент

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение27.03.2024, 19:50 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Вроде смысл в том, что уравнение связывает значения функции в $k + 1$ последовательной точке, то есть это рекуррентное соотношение. Тогда можно вообще всё определять без конечных разностей. Ещё обычно хочется, чтобы значение в самой правой точке из этих $k + 1$ выражалось через остальные, для существования и единственности, это условие легко переформулировать только через "разности вперёд".

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение28.03.2024, 06:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Можно. Но поскольку соответствующая теория получается из "впередсмотрящей" сменой знака аргумента, она интереса не представляет и самостоятельно не развивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение28.03.2024, 08:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Более того, если вообще не брать разностей, а работать со значениями в определённых точках непосредственно, это тоже предмет теории конечных разностей, тривиально сводимый к записи через разности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение28.03.2024, 09:37 


13/04/22
8
Спасибо за разъяснения. Почему я вообще об этом задумался. Итак, в качестве основного источника информации по теме использую книгу "Исчисление конечных разностей" автор А.О. Гельфонд - 1959г.
Автор, как раз таки, даёт такое определение разностному уравнению
Hulk541 в сообщении #1634434 писал(а):
разностным уравнением с одной неизвестной функцией $f$ называется следующее соотношение
$F(x,f(x),\Delta f(x), \Delta^{(2)} f(x), \dots, \Delta^{(k)} f(x)) = 0,$

где функция $F$ задана, функция $f$ искомая, а $\Delta^{(k)} f$ - конечная разность вперёд порядка $k~(k \in N)$.

И далее пишет, что данное соотношение, если раскрыть в нём все разности по формуле
$\Delta^{(k)} f(x) = \sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}C_{k}^{i}f(x+ih),$

где $C_{k}^{i}$ - биноминальный коэффициент, для определённости положив $h = 1$, может быть переписано в виде
$\text{Ф}(x,f(x),f(x+1),\dots,f(x+k))=0~~(1)$
и, если уравнение $(1)$ разрешимо относительно $f(x+k)$, то его можно записать в следующей форме
$f(x+k) = \text{Ф}_{1}(x,f(x),f(x+1),\dots,f(x+k-1))~~(2),$

откуда видно, что если функция $\text{Ф}_{1}(x,y_1,y_2,\dots,y_k),$ определена при всех значениях $x$ вида
$x=x_0 + n,$

где $n \in Z$, и при любых $y_j \in R,~j=\overline{1,k}$, то значение $f(x+k)$ и вообще все значения $f(x+l)~(l \in Z)$ однозначно определяются по соотношению $(2)$ заданием при $x=x_0$ начальных значений
$f(x_0)=f_0,~f(x_0 + 1)=f_1,~,\dots,f(x_0 + k -1)=f_{k-1}$


И вот тут у меня непонятки с значениями $f(x+l)~(l \in Z)$. Как они определятся по соотношению (2) заданием при $x=x_0$ начальных значений ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение28.03.2024, 12:31 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Hulk541 в сообщении #1634485 писал(а):
И вот тут у меня непонятки с значениями $f(x+l)~(l \in Z)$. Как они определятся по соотношению (2) заданием при $x=x_0$ начальных значений ?

В общем случае никак. Например, возьмите уравнение $f(k + 1) = (k + 1) f(k).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение28.03.2024, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Hulk541 в сообщении #1634434 писал(а):
Так вот у меня появился вопрос. А почему обязательно разности вперёд ? Может ли следующее соотношение с разностями назад называться разностным уравнением
$F(x,f(x),\nabla f(x), \nabla^{(2)} f(x), \dots, \nabla^{(k)} f(x)) = 0,$


Разностным уравнением называют ЛЮБОЕ уравнение, которое получено из дифференциального уравнения заменой входящих в него производных на аппроксимирующие их конечные разности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение28.03.2024, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Для пущего просветления могу посоветовать "Введение в теорию разностных схем" А. А. Самарского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение28.03.2024, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Следует иметь в виду, что разностные уравнения могут возникать как сами по себе (например, как рекуррентный уравнения в задачах теории вероятностей или комбинаторики), так и из ОДУ или УЧП в которых производные заменяются на аппроксимиующие их конечные разности. В последнем случае еще говорят о разностных схемах, а также возникает вопрос об устойчивости при шаге стремящемся к 0. Судя по всему ТС интересует только первый случай, и только "обыкновенные" РУ (т.е. с одной переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение29.03.2024, 08:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Hulk541 в сообщении #1634485 писал(а):
И вот тут у меня непонятки с значениями $f(x+l)~(l \in Z)$. Как они определятся по соотношению (2) заданием при $x=x_0$ начальных значений ?


Как сказано, так и определяются. Просто не надо понимать эту фразу, как "задали значение при $x=x_0$, и всё покатилось".
Если в выражение входит k разностей (или k последовательных значений), то начальные условия это вектор из k элементов, а не одна величина.
Подставили - получили следующее, сдвинули набор на один шаг - следующее за ним. И так до полного удовлетворения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные уравнения.
Сообщение29.03.2024, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва

(Оффтоп)

байка из личного опыта...
https://sanitareugen.livejournal.com/22287.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group