2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел с интегралом (Верны ли рассуждения?)
Сообщение25.03.2024, 00:30 


04/06/22
65
Доброго времени суток, господа! Столкнулся со следующей задачей:
"Найти предел при $t\to\inf$ от функции $g(t)$, где $g(t) = \int\limits_{1}^{t+\sin(t)} \frac{dx}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$"
Сначала я заметил, что $\int\limits_{1}^{t-1} \frac{dx}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$ $\leqslant$ $\int\limits_{1}^{t+\sin(t)} \frac{dx}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$ для всех $t$, начиная, например, с 3-х. Левый интеграл легко подсчитать вручную, он получается равным $\frac{\sqrt{t^3} - \sqrt{(t-2)^3}}{3} - \frac{\sqrt{8}}{3}$, и он стремится к бесконечности при $t$ стремящимся к бесконечности, а коль скоро он меньше или равен исходной функции,то значит, что и исходный предел также стремится к бесконечности. Не могли бы здешние мастера математического анализа проверить правильность моего решения :roll: , потому что сам что-то как-то не уверен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с интегралом (Верны ли рассуждения?)
Сообщение25.03.2024, 01:45 
Аватара пользователя


07/01/16
1606
Аязьма
Можно еще немного упростить себе жизнь, заметив, что $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}<2\sqrt x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с интегралом (Верны ли рассуждения?)
Сообщение25.03.2024, 08:35 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
Laguna в сообщении #1634025 писал(а):
стремится к бесконечности
К плюс бесконечности, строго говоря. И в данном случае, имхо, это лучше не пропускать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с интегралом (Верны ли рассуждения?)
Сообщение25.03.2024, 14:42 


04/06/22
65
waxtep в сообщении #1634032 писал(а):
Можно еще немного упростить себе жизнь, заметив, что $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}<2\sqrt x$

Отличное замечание, действительно намного проще выдаётся оценка, а как Вы дошли до такого неравенства? Так сразу и не скажешь, что оно выполняется

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с интегралом (Верны ли рассуждения?)
Сообщение25.03.2024, 17:10 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Laguna в сообщении #1634069 писал(а):
Так сразу и не скажешь, что оно выполняется
А оно вам и не нужно.
Ещё проще дойти до $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}<\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с интегралом (Верны ли рассуждения?)
Сообщение25.03.2024, 19:09 
Аватара пользователя


07/01/16
1606
Аязьма
Laguna в сообщении #1634069 писал(а):
Отличное замечание, действительно намного проще выдаётся оценка, а как Вы дошли до такого неравенства? Так сразу и не скажешь, что оно выполняется
Тут было сообщение другого участника, если не успели прочесть, коротко повторю: неравенство Йенсена (вообще полезная в жизни штука), а в нашем случае можно просто возвести в квадрат и убедиться. Подход, который предложил zykov, еще выигрывает в плане простоты, конечно :-)

Вообще, можно "на физическом уровне строгости" заметить, что знаменатель тем больше похож на два корня, чем больше $x$, а, значит, первообразная незначительно отличается от корня. И потом это наблюдение аккуратно подтвердить любым из трех предложенных способов, или еще каким-либо

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с интегралом (Верны ли рассуждения?)
Сообщение25.03.2024, 19:27 


10/03/16
4444
Aeroport
Laguna в сообщении #1634069 писал(а):
как Вы дошли до такого неравенства?


Если хвункция выпукла, то $\lambda f(a) + (1 -\lambda)f(b) \leq f(\lambda a + (1 -\lambda)b)$. У нас $\lambda = 0.5$:

$$\frac{1}{2} \sqrt{x - 1} + \frac{1}{2} \sqrt{x + 1} \leq \sqrt{\frac{1}{2}(x + 1 + x - 1)} = \sqrt{x}$$

Ниблагодарити.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group