Предел с интегралом (Верны ли рассуждения?)

[Laguna]

Доброго времени суток, господа! Столкнулся со следующей задачей:
"Найти предел при $t\to\inf$ от функции $g(t)$, где $g(t) = \int\limits_{1}^{t+\sin(t)} \frac{dx}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$"
Сначала я заметил, что $\int\limits_{1}^{t-1} \frac{dx}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$ $\leqslant$ $\int\limits_{1}^{t+\sin(t)} \frac{dx}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$ для всех $t$, начиная, например, с 3-х. Левый интеграл легко подсчитать вручную, он получается равным $\frac{\sqrt{t^3} - \sqrt{(t-2)^3}}{3} - \frac{\sqrt{8}}{3}$, и он стремится к бесконечности при $t$ стремящимся к бесконечности, а коль скоро он меньше или равен исходной функции,то значит, что и исходный предел также стремится к бесконечности. Не могли бы здешние мастера математического анализа проверить правильность моего решения , потому что сам что-то как-то не уверен?

[waxtep]

Можно еще немного упростить себе жизнь, заметив, что $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}<2\sqrt x$

[iifat]

Laguna в сообщении #1634025 писал(а):

стремится к бесконечности

К плюс бесконечности, строго говоря. И в данном случае, имхо, это лучше не пропускать.

[Laguna]

waxtep в сообщении #1634032 писал(а):

Можно еще немного упростить себе жизнь, заметив, что $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}<2\sqrt x$

Отличное замечание, действительно намного проще выдаётся оценка, а как Вы дошли до такого неравенства? Так сразу и не скажешь, что оно выполняется

[zykov]

Laguna в сообщении #1634069 писал(а):

Так сразу и не скажешь, что оно выполняется

А оно вам и не нужно.
Ещё проще дойти до $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}<\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$.

[waxtep]

Laguna в сообщении #1634069 писал(а):

Отличное замечание, действительно намного проще выдаётся оценка, а как Вы дошли до такого неравенства? Так сразу и не скажешь, что оно выполняется

Тут было сообщение другого участника, если не успели прочесть, коротко повторю: неравенство Йенсена (вообще полезная в жизни штука), а в нашем случае можно просто возвести в квадрат и убедиться. Подход, который предложил zykov, еще выигрывает в плане простоты, конечно

Вообще, можно "на физическом уровне строгости" заметить, что знаменатель тем больше похож на два корня, чем больше $x$, а, значит, первообразная незначительно отличается от корня. И потом это наблюдение аккуратно подтвердить любым из трех предложенных способов, или еще каким-либо

[ozheredov]

Laguna в сообщении #1634069 писал(а):

как Вы дошли до такого неравенства?

Если хвункция выпукла, то $\lambda f(a) + (1 -\lambda)f(b) \leq f(\lambda a + (1 -\lambda)b)$. У нас $\lambda = 0.5$:

$$\frac{1}{2} \sqrt{x - 1} + \frac{1}{2} \sqrt{x + 1} \leq \sqrt{\frac{1}{2}(x + 1 + x - 1)} = \sqrt{x}$$

Ниблагодарити.