кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[Dmitriy40]

Что-то на дельфи (паскаль) вычисления сильно медленны, 7с на 1e9 (соответственно 2ч на 1e12), 85% уходит на вычисления, надо на асме писать, там и AVX пригодится.

-- 23.03.2024, 23:59 --

Покажу первые результаты для паттерна 0, 24, 30, 36, 60:

? for(k=3,9,c=c0;forprime(p=31,10^k,for(i=cm,#c-1,c[i]=c[i]*(p-i)+c[i+1]*(i+1-cm);););print("10^",k,": c5/sum=",c[cm]/vecsum(c));)
10^3: c5/sum=0.019758857288582353545641688029906402636
10^4: c5/sum=0.065920496919088498270540597499801704631
10^5: c5/sum=0.12411299279519796710975326199735559906
10^6: c5/sum=0.18379482350176932234225765079524081423
10^7: c5/sum=0.24024813352062236144032345040232388879
10^8: c5/sum=0.29181503136481607763016103150545619965
10^9: c5/sum=0.33824436542576658977061029060797032068
\\Дальше данные уже с программы на дельфи:
1e9#: 0.338244365, 0.395439217, 0.198864067, 0.056352162, 0.009898709, 0.001116687, 0.000081016, 0.000003676, 0.000000098, 0.000000001, 0.000000000, sum=1.748687862265866e434281003
10e9#: 0.379833930, 0.393248517, 0.175263886, 0.044049880, 0.006868952, 0.000688558, 0.000044438, 0.000001796, 0.000000043, 0.000000001, 0.000000000, sum=2.303887805023609e4342918681
32e9#: 0.399153698, 0.390677558, 0.164658918, 0.039149486, 0.005777241, 0.000548272, 0.000033515, 0.000001284, 0.000000029, 0.000000000, 0.000000000, sum=1.769254686206948e13897345154
100e9#: 0.417065652, 0.387479765, 0.155060686, 0.035015259, 0.004909160, 0.000442786, 0.000025735, 0.000000938, 0.000000020, 0.000000000, 0.000000000, sum=7.139994077344207e43429334247

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1633901 писал(а):

Имел в виду произведение(-я) всех таких разностей для всех p и конкретного (или всех интересующих) cmin.

Понял. Которые нужно один раз вычислить для каждой длины паттерна.

Dmitriy40 в сообщении #1633910 писал(а):

ведь для частотности берётся отношение c5/sum

Ну да, та самая доля чистых среди всех. Ведь sum это все.

Dmitriy40 в сообщении #1633910 писал(а):

смотрите на точные отношения c5/sum для того же паттерна:

Совпадают с

Yadryara в сообщении #1633244 писал(а):

Впоследствии, для больших значений удобнее говорить о доле чистых среди всех. Если для $31\#$ (простые до $10^3$) она действительно крошечная, то затем она весьма быстро растёт.

Для $97\#$ (простые до $10^4$)

$\dfrac {1485487291820451372306983953984} {2400180841066841191758378383179776} \approx 0.0006$

Для $313\#$ (простые до $10^5$) $ \approx 0.006$

Для $997\#$ (простые до $10^6$) $ \approx 0.020$

Для $99991\#$ (простые до $10^{10}$) $ \approx 0.124$

То бишь 12% уже есть, а стремится она, понятное дело, к 100%.

Только степень десятки у меня вдвое выше, потому что я брал не forprime(p=31,10^k,
, а forprime(p=31, sqrt(10^st), .

Dmitriy40 в сообщении #1633910 писал(а):

для 10^n дробь будет примерно 0.6*(n-3).

Dmitriy40 в сообщении #1633910 писал(а):

А если присобачить логарифм, то возможно выйдет ещё точнее: $0.24+\frac{\ln(10^7)}{\ln(10^9)}\cdot 0.66\cdot2=0.343$ (0.66 это величина 1e4,

Регулярно нолик теряли. Не 0.6, а 0.06 и не 0.66, а 0.066.

Dmitriy40 в сообщении #1633910 писал(а):

А просто праймориал (для sum) посчитать сильно легче чем vc[cmin] для каждого варианта паттерна.

Конечно, ведь Вы как раз sum и считали раньше, когда дошли до 5е25.

Dmitriy40 в сообщении #1633916 писал(а):

Покажу первые результаты для паттерна 0, 24, 30, 36, 60:Код:

32e9#: 0.399153698, 0.390677558, 0.164658918, 0.039149486, 0.005777241, 0.000548272, 0.000033515, 0.000001284, 0.000000029, 0.000000000, 0.000000000, sum=1.769254686206948e13897345154
100e9#: 0.417065652, 0.387479765, 0.155060686, 0.035015259, 0.004909160, 0.000442786, 0.000025735, 0.000000938, 0.000000020, 0.000000000, 0.000000000, sum=7.139994077344207e43429334247

Что в переводе на более человеческий язык означает:

В диапазоне $0-10^{21}$ чистые уже вышли на первое место, а в диапазоне $0-10^{22}$ доля чистых среди всех составляет в среднем 41.7 %.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1633898 писал(а):

Мне интересно, будет ли частотность и дальше обгонять факт и насколько сильно. Для 10-го порядка было на 20%.

Это для той самой центральной пятёрки 24-6-6-24. Обгон увеличился:

08     223.537          197      13.5 %
09    1781.532         1501      18.7 %
10   13853.840        11535      20.1 %
11  106955.852        86543      23.6 %

И ещё отдельный вопрос, где брать фактические значения для 3-го столбца...

Dmitriy40 в сообщении #1633901 писал(а):

Мне кажется гораздо более важным найти методику вычислений vc[] до стабилизации формул, чтобы не считать до 83#-89# для 19-252.

Это да, но если мы бьём пенальти, нас навряд ли устроит точность плюс-минус километр

Dmitriy40 в сообщении #1633901 писал(а):

А для такого анализа данных уже полно, да и новые насчитать не так уж сложно.

Ну вот я как раз и начал приводить в порядок статистику. 3-ки все до диаметра 100 обсчитаны, остальные пока не смотрел.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1633741 писал(а):

И почти половина этих паттернов уже обсчитана.

А нет, всего лишь 11 из 36. Я ведь ещё считал и несимметричные и чётной длины. А симметричных нечётных всего 11. 8 троек уже показал, вот ещё 2 пятёрки и 7-ка:

    Len          Pattern   Zagr  St-St      c5     c6        c7

01.   5    0  6 18 30 36      6    17#       0     66       782
02.   5    0 18 24 30 48
03.   5    0  6 30 54 60
04.   5    0 12 30 48 60
05.   5    0 18 30 42 60
06.   5    0 24 30 36 60     10    29#       0    372     19964
07.   5    0  6 36 66 72
08.   5    0 12 36 60 72
09.   5    0 30 36 42 72
10.   5    0 12 42 72 84
11.   5    0 24 42 60 84
12.   5    0 30 42 54 84
13.   5    0  6 48 90 96
14.   5    0 18 48 78 96
15.   5    0 30 48 66 96
16.   5    0 36 48 60 96

(02.)

0, 66, 782, 1878, 1366, 460, 56

(06.)

0,372,19964,307062,1946818,5908748,9195112,7301150,2741054,427520,21384

    Len                Pattern   Zagr  St-St      c7     c8        c9

01.   7    0 12 18 30 42 48 60
02.   7    0  6 30 36 42 66 72     11    31#       0   1558     88490
03.   7    0 12 30 36 42 60 72
04.   7    0 12 24 42 60 72 84
05.   7    0 12 30 42 54 72 84
06.   7    0 24 30 42 54 60 84
07.   7    0  6 18 48 78 90 96
08.   7    0  6 30 48 66 90 96 
09.   7    0  6 36 48 60 90 96
10.   7    0 18 36 48 60 78 96

(02.)

0, 1558, 88490, 1555264, 11992742, 45331404, 87789500, 88106890, 44806508, 11001112, 1236036, 53376

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1633942 писал(а):

И ещё отдельный вопрос, где брать фактические значения для 3-го столбца...

Ну если они нужны не до 1e26, а до 1e13, то можно получать в той же программе, простые то там же есть.

Код вычислений вчера переписал на асм+AVX (вышло быстрее раз в 30), но отдельно, осталось интегрировать в прогу генератора простых на дельфи.
Единственно, она не может считать вектора vc[] длиннее 16 (начиная с cmin=#v), регистров не хватает, а через память заметно медленнее, раза в 1.5-2.

А запущенная пока выдала:

316e9#: 0.434198138, 0.383724106, 0.146105645, 0.031400402, 0.004191076, 0.000359994, 0.000019933, 0.000000692, 0.000000014, 0.000000000, 0.000000000, sum=2.855414059697982e137236770201
1000e9#: 0.450452905, 0.379558832, 0.137823751, 0.028255022, 0.003598367, 0.000295001, 0.000015595, 0.000000517, 0.000000010, 0.000000000, 0.000000000, sum=2.591717004757545e434294060775
3162e9#: 0.465856442, 0.375092782, 0.130175723, 0.025512003, 0.003106726, 0.000243605, 0.000012321, 0.000000391, 0.000000007, 0.000000000, 0.000000000, sum=4.146390929899342e1373238348517
7071e9#: 0.476156178, 0.371834401, 0.125173454, 0.023799109, 0.002812039, 0.000213985, 0.000010505, 0.000000324, 0.000000006, 0.000000000, 0.000000000, sum=7.985746753962045e3070895214226

Т.е. до 5e25.

По моему c5/sum уже давно практически не растёт, 40% или 48% разница небольшая, ну понятно (o-5)/p стало практически единицей, впрочем как и все остальные.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1633969 писал(а):

Код вычислений вчера переписал на асм+AVX (вышло быстрее раз в 30),

Здорово! "Вот они, трамваи-то!"

Dmitriy40 в сообщении #1633969 писал(а):

По моему c5/sum уже давно практически не растёт, 40% или 48% разница небольшая, ну понятно (o-5)/p стало практически единицей, впрочем как и все остальные.

p-5/p.

50% — приятный рубеж для любителей чистоты. После его преодоления чистых станет больше чем всех остальных вместе взятых.

Так что я по-прежнему полагаю, что и для паттерна 19-252 доля чистых от всех ну никак не 3%, а выше.

Здесь дело как раз в этом может быть:

Dmitriy40 в сообщении #1633969 писал(а):

Ну если они нужны не до 1e26, а до 1e13, то можно получать в той же программе, простые то там же есть.

Они нужны хотя бы до 1е25. Именно затем, чтобы посмотреть куда пойдёт превышение. Если для 1е11 уже 23%, то для 1е25 уже может быть 80-180%.

То есть если средняя доля чистых среди всех 6%, но в начале натурального ряда их в 2 раза меньше (перевес 100%), то это и даёт фактические 3%.

С практической точки зрения-то всё равно, откуда 3% эти берутся, но интересно.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1633975 писал(а):

p-5/p.

1-5/p.

Yadryara в сообщении #1633975 писал(а):

Они нужны хотя бы до 1е25.

Не, это совершенно нереально. Даже до 1e17 нереально. Решето идёт примерно 1e14/сутки/поток.
Для столь коротких паттернов и поиск по паттерну работает плохо, слишком много кандидатов выдаёт (грязных, примерно 5e5:1, один на полмиллионный интервал), скорость около 1e15 раза в полтора ниже выдающего сразу чистые просто решета Эратосфена!

[Dmitriy40]

Досчиталось до 1e13 (числа соответственно до 1e26):

10000e9#: 0.480478241, 0.370403687, 0.123101467, 0.023108018, 0.002695892, 0.000202570, 0.000009821, 0.000000299, 0.000000005, 0.000000000, 0.000000000, sum=5.962981701251802e4342943511057

До 50% как-то ещё далековато.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1633980 писал(а):

Не, это совершенно нереально. Даже до 1e17 нереально.

Знал, потому и вопросительный знак не поставил. Вы выкладывали базу 9-к до 1е16. Там было вроде 7.4 млн чистых 9-к. И даже посчитали сколько из них чистых центральных 9-108. Вроде 80+ тысяч. Там наверное и 9-ки с диаметром 96 можно найти. Затем попытаться обсчитать и сопоставить.

Dmitriy40 в сообщении #1633992 писал(а):

До 50% как-то ещё далековато.

План и так перевыполнен в 10 раз. 26-й порядок пройден.

Так Вы всё-таки по точным формулам считали и ухитрились так высоко забраться? Или сложение не делали?

[Dmitriy40]

Нет, разумеется считал по точным формулам, потому так и медленно (впятеро медленнее).

Интегрировал код асм+AVX в дельфи, затраты времени на вычисления упали с 80% до 12%, в реальных цифрах с 6с до 0.15с, на каждый интервал 1e9, ещё 1.2с тратит генератор простых. Теперь на 1e13 (1e26) вместо 20ч хватит 3.5ч (до 3e12 (1e25) минут 70), как и должно быть.

[Dmitriy40]

На удивление две версии проги уже на 40млрд шаге разошлись в 9-м знаке sum ... А на 1e13 отличия добрались и до 6-го знака после запятой в sum. При этом отношения vc[]/sum совпадают до 6-го знака. Просто странно.

[Dmitriy40]

А, дошло откуда разница: вариант с вычислениями на дельфи использует FPU, который внутри 80 бит (64 бита мантисса), а вариант с AVX работает с double (53 бита мантисса), отсюда и набегает небольшая погрешность вычислений.

Yadryara
Проги написаны, аппаратура свободна и простаивает, я не следил внимательно за Вашими рассуждениями, можете коротко перечислить какие варианты надо досчитать (и до 1e13 или хватит и сильно меньше, скажем 1e12 или 3.16e12)? Или все посчитанные точно? Или ещё и остальные досчитать (сначала до формул, а потом до 1e13)? В общем неплохо бы обрисовать коротко фронт работы. Для счёта до 1e13 кроме точных цифр vc[] надо ещё и длину паттерна знать (cmin=#v).

[Yadryara]

Dmitriy40, то-то и оно что всё это задумано было, чтоб Вам помочь. То есть оценить сколько чистых $valids=19$ ожидать в диапазоне, который Вам реально подвластен. Вы же считаете задачу 19-252 где-то между 1-2 е24. Потому я и предложил взять под прицел 1е25.

Как видите, эта задача разделилась на несколько интересных подзадач.

Сам я сейчас считаю самый короткий паттерн 9-84. Новости плохие: он не устаканился сразу после того как число $c_{min}$ (с9) превысило ноль.

Как закончу, будет 12 паттернов из 36 (из Вашего же списка). Но остальные 24-то надо обсчитать?

[Dmitriy40]

Общая задача то понятна. Вопрос что полезного Вам могу прямо сейчас посчитать.

Надо ли что-то обсчитывать - вопрос не ко мне, к Вам. Я не понимаю как Вы собираетесь перейти от коротких паттернов к искомому (или например от 0,30,60 к 0,24,30,36,60), соответственно и не знаю что ещё надо обсчитать.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1634087 писал(а):

Надо ли что-то обсчитывать - вопрос не ко мне, к Вам.

Так я поэтому и задал его Вам, чтобы подчеркнуть что теперь знаю навряд ли больше Вашего.

Dmitriy40 в сообщении #1634087 писал(а):

Я не понимаю как Вы собираетесь перейти от коротких паттернов к искомому

А я понимаю? Я же не случайно спрашивал об этом математиков. Но всё молчат, мы здесь как будто вдвоём.

Надо данных побольше набрать, может лучше станет понятно.

Точные формулы универсальны, да. Их удалось найти. Понятно какие они для 19-252.

Но стартовую строку-то где взять? Приближённая разве ж устроит? Ошибка может накопиться плюс-минус километр при многократном пересчёте.

Значит нужна точная. Но где ж её взято-то??

Надо данных побольше набрать, может лучше станет понятно. А может и не станет. Может эта задача слишком сложна для нас двоих и помощь других форумчан нужна. Один вот вроде как решил помочь, посчитал и ошибся на 10+ порядков.

Так что я пока за дальнейший обсчёт паттернов диаметром до 100 и составление таблиц.