Планиметрия. Достаточно ли данных в задаче или я глупый?

[Don-Don]

Подскажите, достаточно ли данных, чтобы решить задачу?

В треугольнике $XYZ$ на стороне $YZ$ находится центр окружности, которая касается сторон $YX$ и $ZX$ в точках $B$ и $N$ соответственно. Эта окружность также пересекает сторону $YZ$ в точках $P$ и $Q$, причём точка $P$ расположена между точками $Y$ и $Q$. Требуется определить длину отрезка $QZ$, если известно, что $YP = 1$ и отношения $YM:MX = NX:NZ = 1:2$.



Пусть $YB=t$, тогда $BX=2t$, $XN=2t$, $NZ=4t$. Пусть $OP=r$, $QZ=a$, тогда запишем две теоремы Пифагора.

$r^2+t^2=(r+1)^2$ и $(r+a)^2=r^2+16t^2$.

Из первой формулы следует, что $t^2=2r+1$, из второй $16t^2=a^2+2ra$.

Но как будто бы не хватает еще одного условия. Ну хорошо, запишим две теоремы о скасательной и секущей.

$t^2=1\cdot (1+2r)$ (это первая теорема с касательной $BY$, то есть эта теорема ничего нового не дала. Вторая теорема о секущих тоже ничего нового не дает. Возникла мысль воспользоваться Менелаем, других версий пока нет. Но создается впечатление, что данных в условии не хватает. Сможете помочь, пожалуйста?

[Лукомор]

Don-Don в сообщении #1633644 писал(а):

Но создается впечатление, что данных в условии не хватает

В условии отсутствует, чему равно отношение $YB : BX = ?$

[Don-Don]

Лукомор в сообщении #1633656 писал(а):

В условии отсутствует, чему равно отношение $YB : BX = ?$

Спасибо. Извините, вот здесь я опечатался при наборе текста, имеется ввиду $B=M$. При этом соотношение $YM:MX = NX:NZ = 1:2$ точно написано верно (с точностью до замены букв $B=M$). То есть $YB:BX = NX:NZ = 1:2$

[EUgeneUS]

Don-Don в сообщении #1633644 писал(а):

тогда запишем две теоремы Пифагора.

$r^2+t^2=(r+1)^2$ и $(r+a)^2=r^2+16t^2$.

Выразите те же самые величины по теореме косинусов через косинус половины угла при вершине $X$.

[TOTAL]

Don-Don в сообщении #1633644 писал(а):

Сможете помочь, пожалуйста?

Поможет биссектриса $XO$, которая делит сторону такую-то в известном отношении таком-то.

[Don-Don]

TOTAL в сообщении #1633702 писал(а):

Поможет биссектриса $XO$, которая делит сторону такую-то в известном отношении таком-то.

Спасибо. Теорема о биссектриссе действительно помогла.

-- 24.03.2024, 00:28 --

EUgeneUS в сообщении #1633662 писал(а):

Выразите те же самые величины по теореме косинусов через косинус половины угла при вершине $X$

Да, так тоже можно, спасибо. Что-то не догадался.

-- 24.03.2024, 00:28 --

EUgeneUS в сообщении #1633662 писал(а):

Выразите те же самые величины по теореме косинусов через косинус половины угла при вершине $X$

Да, так тоже можно, спасибо. Что-то не догадался.