Мощность множества всех монотонных функций

[gosetrov]

Подскажите, пожалуйста, корректно ли такое рассуждение:

Назовем множество всех монотонных функций $F$
Любая монотонная функция может иметь не более чем счетное число точек разрыва первого рода. Пусть $g$ произвольная монотонная функция, тогда мы сможем склеить ее в непрерывную функцию устранив все ее точки разрыва. Т.о. мы можем получить любую монотонную функцию из некоторой непрерывной функции добавлением в нее точек разрыва. Пусть $f$ непрерывна, давайте посчитаем сколько мы можем получить из нее функций добавлением не более чем счетного числа точек разрыва первого рода. При добавление одной точки имеем $\mathfrak {c} \times \mathfrak {c} \times \mathfrak {c} = \mathfrak {c}$(первый множитель координата по оси $x$, второй множитель величина разрыва, третий множитель координата $y$ точки в разрыве). Тогда чтобы при добавление второй точки получаем $\mathfrak {c} \times \mathfrak {c} $(перый множитель - варианты добавления первой точки, второй - второй) и т.д. Тогда общее количество вариантов будет $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ...$(где n-ое слагаемое это количество вариантов добавления n точек), тогда $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ... = \aleph_0 \times \mathfrak {c} = \mathfrak {c} $.
Тогда $\left\lvert F \right\rvert\leqslant \mathfrak {c} \times \mathfrak {c} = \mathfrak {c} $(мощность множества всех непрерывных функций умножаем на мощность возможных модификаций каждой их них), но $\left\lvert F \right\rvert \geqslant \mathfrak {c}$(мощность множества функций вида $y = x + c$ равна $\mathfrak {c}$) тогда по T. Ка́нтора — Бернште́йна $F \sim \mathfrak {c}$

[mihaild]

gosetrov в сообщении #1633495 писал(а):

Пусть $g$ произвольная монотонная функция, тогда мы сможем склеить ее в непрерывную функцию устранив все ее точки разрыва. Т.о. мы можем получить любую монотонную функцию из некоторой непрерывной функции добавлением в нее точек разрыва.

Вот это надо бы как-то подробнее описать.

gosetrov в сообщении #1633495 писал(а):

Тогда общее количество вариантов будет $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ...$(где n-ое слагаемое это количество вариантов добавления n точек), тогда $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ... = \aleph_0 \times \mathfrak {c} = \mathfrak {c} $.

Так писать совсем нехорошо. Плюс у вас потерялся вариант добавления бесконечного числа точек.
ИМХО лучше сразу рассмотреть только скачки в бесконечном числе точек (всегда можно сказать что в лишних местах величина скачка нулевая).

[dgwuqtj]

Ещё разрыв определяется не только своей величиной величиной и координатами, но и значением функции в точке разрыва (это континуум вариантов, если разрыв ненулевой). Я бы вместо склеивания точек разрыва воспользовался бы непрерывностью интеграла от монотонной функции.

[gosetrov]

mihaild в сообщении #1633515 писал(а):

Вот это надо бы как-то подробнее описать.

Так как это разрыв первого рода то левый и правый предел функции в точки существуют, тогда заменим значение в точки на значение в левом пределе и всю правую часть графика переместим вниз(или вверх если функция убывает) совместив правый предел с левым, модифицированная функция будет непрерывна в этой точке. Как думаете достаточно так расписать?

mihaild в сообщении #1633515 писал(а):

ИМХО лучше сразу рассмотреть только скачки в бесконечном числе точек

Действительно так гораздо лучше. Тогда количество возможных модификаций $\aleph_0 \times (\mathfrak {c} \times \mathfrak {c} \times \mathfrak {c}) = \aleph_0 \times \mathfrak {c} = \mathfrak {c}$. Дальше можно продолжить рассуждение как в оригинале.

mihaild в сообщении #1633515 писал(а):

Так писать совсем нехорошо.

Можете, пожалуйста, подробнее рассказать почему так нельзя писать. У меня были большие подозрения, что $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ... = \aleph_0 \times \mathfrak {c}$ что такое равенство ни чем не обеспечивается, но хотелось бы лучше понять.

[mihaild]

gosetrov в сообщении #1633620 писал(а):

Как думаете достаточно так расписать?

Это тоже не очень хорошо, потому что непонятно, что делать с бесконечным числом разрывов - что там будет сходиться, в каком смысле и т.д.

gosetrov в сообщении #1633620 писал(а):

Можете, пожалуйста, подробнее рассказать почему так нельзя писать

Потому что непонятно, что такое бесконечная сумма кардинальных чисел.