Подскажите, пожалуйста, корректно ли такое рассуждение:
Назовем множество всех монотонных функций
Любая монотонная функция может иметь не более чем счетное число точек разрыва первого рода. Пусть
произвольная монотонная функция, тогда мы сможем склеить ее в непрерывную функцию устранив все ее точки разрыва. Т.о. мы можем получить любую монотонную функцию из некоторой непрерывной функции добавлением в нее точек разрыва. Пусть
непрерывна, давайте посчитаем сколько мы можем получить из нее функций добавлением не более чем счетного числа точек разрыва первого рода. При добавление одной точки имеем
(первый множитель координата по оси
, второй множитель величина разрыва, третий множитель координата
точки в разрыве). Тогда чтобы при добавление второй точки получаем
(перый множитель - варианты добавления первой точки, второй - второй) и т.д. Тогда общее количество вариантов будет
(где n-ое слагаемое это количество вариантов добавления n точек), тогда
.
Тогда
(мощность множества всех непрерывных функций умножаем на мощность возможных модификаций каждой их них), но
(мощность множества функций вида
равна
) тогда по T. Ка́нтора — Бернште́йна