2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мощность множества всех монотонных функций
Сообщение20.03.2024, 15:35 


19/01/24
26
Подскажите, пожалуйста, корректно ли такое рассуждение:

Назовем множество всех монотонных функций $F$
Любая монотонная функция может иметь не более чем счетное число точек разрыва первого рода. Пусть $g$ произвольная монотонная функция, тогда мы сможем склеить ее в непрерывную функцию устранив все ее точки разрыва. Т.о. мы можем получить любую монотонную функцию из некоторой непрерывной функции добавлением в нее точек разрыва. Пусть $f$ непрерывна, давайте посчитаем сколько мы можем получить из нее функций добавлением не более чем счетного числа точек разрыва первого рода. При добавление одной точки имеем $\mathfrak {c} \times \mathfrak {c} \times \mathfrak {c} = \mathfrak {c}$(первый множитель координата по оси $x$, второй множитель величина разрыва, третий множитель координата $y$ точки в разрыве). Тогда чтобы при добавление второй точки получаем $\mathfrak {c} \times \mathfrak {c} $(перый множитель - варианты добавления первой точки, второй - второй) и т.д. Тогда общее количество вариантов будет $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ...$(где n-ое слагаемое это количество вариантов добавления n точек), тогда $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ... = \aleph_0 \times \mathfrak {c}  = \mathfrak {c} $.
Тогда $\left\lvert F \right\rvert\leqslant \mathfrak {c}  \times \mathfrak {c}  = \mathfrak {c} $(мощность множества всех непрерывных функций умножаем на мощность возможных модификаций каждой их них), но $\left\lvert F \right\rvert \geqslant \mathfrak {c}$(мощность множества функций вида $y = x + c$ равна $\mathfrak {c}$) тогда по T. Ка́нтора — Бернште́йна $F \sim \mathfrak {c}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех монотонных функций
Сообщение20.03.2024, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
gosetrov в сообщении #1633495 писал(а):
Пусть $g$ произвольная монотонная функция, тогда мы сможем склеить ее в непрерывную функцию устранив все ее точки разрыва. Т.о. мы можем получить любую монотонную функцию из некоторой непрерывной функции добавлением в нее точек разрыва.
Вот это надо бы как-то подробнее описать.
gosetrov в сообщении #1633495 писал(а):
Тогда общее количество вариантов будет $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ...$(где n-ое слагаемое это количество вариантов добавления n точек), тогда $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ... = \aleph_0 \times \mathfrak {c}  = \mathfrak {c} $.
Так писать совсем нехорошо. Плюс у вас потерялся вариант добавления бесконечного числа точек.
ИМХО лучше сразу рассмотреть только скачки в бесконечном числе точек (всегда можно сказать что в лишних местах величина скачка нулевая).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех монотонных функций
Сообщение20.03.2024, 17:59 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Ещё разрыв определяется не только своей величиной величиной и координатами, но и значением функции в точке разрыва (это континуум вариантов, если разрыв ненулевой). Я бы вместо склеивания точек разрыва воспользовался бы непрерывностью интеграла от монотонной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех монотонных функций
Сообщение21.03.2024, 18:38 


19/01/24
26
mihaild в сообщении #1633515 писал(а):
Вот это надо бы как-то подробнее описать.

Так как это разрыв первого рода то левый и правый предел функции в точки существуют, тогда заменим значение в точки на значение в левом пределе и всю правую часть графика переместим вниз(или вверх если функция убывает) совместив правый предел с левым, модифицированная функция будет непрерывна в этой точке. Как думаете достаточно так расписать?

mihaild в сообщении #1633515 писал(а):
ИМХО лучше сразу рассмотреть только скачки в бесконечном числе точек

Действительно так гораздо лучше. Тогда количество возможных модификаций $\aleph_0 \times (\mathfrak {c}  \times \mathfrak {c}  \times \mathfrak {c}) = \aleph_0 \times \mathfrak {c} = \mathfrak {c}$. Дальше можно продолжить рассуждение как в оригинале.

mihaild в сообщении #1633515 писал(а):
Так писать совсем нехорошо.


Можете, пожалуйста, подробнее рассказать почему так нельзя писать. У меня были большие подозрения, что $\mathfrak {c} + \mathfrak {c} + ... = \aleph_0 \times \mathfrak {c}$ что такое равенство ни чем не обеспечивается, но хотелось бы лучше понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех монотонных функций
Сообщение21.03.2024, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
gosetrov в сообщении #1633620 писал(а):
Как думаете достаточно так расписать?
Это тоже не очень хорошо, потому что непонятно, что делать с бесконечным числом разрывов - что там будет сходиться, в каком смысле и т.д.
gosetrov в сообщении #1633620 писал(а):
Можете, пожалуйста, подробнее рассказать почему так нельзя писать
Потому что непонятно, что такое бесконечная сумма кардинальных чисел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group