Задачка взята из
этой темы. Поломав голову, я решил обратиться за помощью.
Условие.Найдите все многочлены
с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству
.
Попытки решения.Сначала я думал подставить
,
в многочлен
. Но потом подумал, что это будет слишком громоздко.
Я попробовал воспользоваться теоремой о разложении многочлена с действительными коэффициентами на комплексно-сопряженные корни. Пусть
- комплексный корень многочлена
. Тогда
- тоже комплексный корень многочлена
.
Это значит, что
и
- корни многочлена
. Подставив
в
, получим:
. Исходя из равенства
, получаем, что многочлен
или
делится на
, то есть
- корень многочлена
или
.
Правильным ли путем я иду? Что можно делать дальше?