2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задачка на многочлены
Сообщение19.03.2024, 12:54 


20/09/09
2039
Уфа
Задачка взята из этой темы. Поломав голову, я решил обратиться за помощью.

Условие.
Найдите все многочлены $P(x)$ с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству $P(x^2+x+1)\equiv P(x)P(x+1)$.

Попытки решения.
Сначала я думал подставить $(x^2+x+1)$, $(x+1)$ в многочлен $P(x)\equiv \prod\limits_{i=0}^{n}a_i x^i $. Но потом подумал, что это будет слишком громоздко.
Я попробовал воспользоваться теоремой о разложении многочлена с действительными коэффициентами на комплексно-сопряженные корни. Пусть $m + li$ - комплексный корень многочлена $P(x)$. Тогда $m - li$ - тоже комплексный корень многочлена $P(x)$.
Это значит, что $m + li$ и $m - li$ - корни многочлена $P(x^2+x+1)$. Подставив $m + li$ в $P(x^2+x+1)$, получим:
$P(m^2-l^2+m+1+l(2m+1)i)$. Исходя из равенства $P(x^2+x+1)\equiv P(x)P(x+1)$, получаем, что многочлен $P(x)$ или $P(x+1)$ делится на $(x-(m^2-l^2+m+1+l(2m+1)i))$, то есть $(m^2-l^2+m+1+l(2m+1)i)$ - корень многочлена $P(x)$ или $P(x+1)$.
Правильным ли путем я иду? Что можно делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение19.03.2024, 14:03 
Заслуженный участник


07/08/23
1093
Пожалуй, так можно решать. Но вам придётся учитывать кратность корней, а ещё отдельно учитывать вещественные корни. Я бы не работал с вещественной и мнимой частью по отдельности, а считал напрямую с комплексным числом $u = m + li$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение19.03.2024, 18:51 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Подходят многочлены: $P_{2n}(x)=(x^2+1)^n$. Но, возможно, есть еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение20.03.2024, 21:02 


20/09/09
2039
Уфа
Rasool в сообщении #1633365 писал(а):
Сначала я думал подставить $(x^2+x+1)$, $(x+1)$ в многочлен $P(x)\equiv \prod\limits_{i=0}^{n}a_i x^i $.

Прошу пощения, конечно имелся в виду многочлен $P(x)\equiv \sum\limits_{i=0}^{n}a_i x^i $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение21.03.2024, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Если многочлен имеет корень $z$, то и корень $z^2+z+1$ и т.д., т.е. получается рекуррентная последовательность $z_n=z^2_{n-1}+z_{n-1}+1$. Если в этой последовательности бесконечно много разных значений, такого быть не может, потому что у многочлена конечное число корней. Значит, она должна зацикливаться. То же самое, если многочлен имеет корень $z+1$, то и корень $z^2+z+1$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение21.03.2024, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
alisa-lebovski, хорошее решение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение21.03.2024, 21:34 


20/09/09
2039
Уфа
alisa-lebovski в сообщении #1633579 писал(а):
Если многочлен имеет корень $z$, то и корень $z^2+z+1$ и т.д., т.е. получается рекуррентная последовательность $z_n=z^2_{n-1}+z_{n-1}+1$. Если в этой последовательности бесконечно много разных значений, такого быть не может, потому что у многочлена конечное число корней. Значит, она должна зацикливаться. То же самое, если многочлен имеет корень $z+1$, то и корень $z^2+z+1$ и т.д.

Я тоже об этом подумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение22.03.2024, 09:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Действительных корней нет (иначе их бесконечно много)
Все корни равны $1$ по модулю, т.к. $P(1) =P(0)P(1)$
Корни только $z=\pm i$, т.к. $|z^2+z+1|=|z|=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение22.03.2024, 11:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
TOTAL в сообщении #1633670 писал(а):
Все корни равны $1$ по модулю, т.к.
Уточните. пожалуйста, почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение22.03.2024, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
alisa-lebovski в сообщении #1633693 писал(а):
TOTAL в сообщении #1633670 писал(а):
Все корни равны $1$ по модулю, т.к.
Уточните. пожалуйста, почему.

Произведение корней равно $1$.
Пусть корень $|z|>1$ максимальный по модулю.
Разность корней $z^2+z+1$ и $z^2-z+1$ по модулю равна $|2z|$, поэтому каждый из них по модулю равен $|z|$, т.е. они равны $z$ и $-z$, т.е. $z^2+1=0$, что противоречит предположению $|z|>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение11.04.2024, 09:37 


20/09/09
2039
Уфа
TOTAL в сообщении #1633670 писал(а):
Корни только $z=\pm i$, т.к. $|z^2+z+1|=|z|=1$

Если $\pm i$ - корни многочлена $P(x)$, то он делится на множители $(x-i)(x+i)=x+1$. У многочлена $Q(x)=P(x+1)$ корни $(\pm i-1)$ и соответственно множители $(x+1-i)(x+1+i)=x^2+2x+2$. Значит, многочлен $P(x)P(x+1)$ делится на $(x+1)(x^2+2x+2)=x^3+3x^2+4x+2$. На это же делится и многочлен $P(x^2+x+1)$.
Куда двигаться дальше, я, увы, не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение11.04.2024, 14:35 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Раз корни $P(z)$ только $\pm i$, то его разложение на линейные множители будет:$P(z)=(z-i)^n(z+i)^n=(z^2+1)^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение11.04.2024, 15:13 


20/09/09
2039
Уфа
mihiv в сообщении #1636055 писал(а):
Раз корни $P(z)$ только $\pm i$, то его разложение на линейные множители будет:$P(z)=(z-i)^n(z+i)^n=(z^2+1)^n$

Простите, сразу не догадался. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение13.04.2024, 20:02 


20/09/09
2039
Уфа
mihiv в сообщении #1636055 писал(а):
Раз корни $P(z)$ только $\pm i$, то его разложение на линейные множители будет:$P(z)=(z-i)^n(z+i)^n=(z^2+1)^n$

У меня получилось, что $((x^2+x+1)+1)^n = (x^4+2x^3+3x^2+2x+2)^n$ и $(x^2+1)^n((x+1)^2+1)^n = (x^4+2x^3+3x^2+2x+2)^n$. Означает ли это, что годятся любые значения n и требуемых многочленов может быть бесконечно много?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на многочлены
Сообщение14.04.2024, 09:00 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
Rasool, да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group