Дискретная квантовая яма и правило Бора-Зоммерфельда

[reterty]

Мой вопрос адресован всем компетентным участникам форума, но в первую очередь, к уважаемым madschumacher и Cos(x-pi/2).
Задача: Построить решения стационарного уравнения Шредингера для симметричной "лестничной" квантовой ямы и, пользуясь ними в непрерывном пределе, получить известное правило квантования Бора-Зоммерфельда.
Попытка решения: Представим потенциальную энергию частицы как ступенчатую функцию вида:

$$ U(x)= \sum_{j=0}^{J} U_j\chi_j(x), (1)$$

где $J$ — общее количество шагов; $U_j=U(x_j)>0$ — значение потенциальной энергии в точке $x=x_j$; $\chi_j(x)$ — индикаторная функция такая, что $\chi_j(x)=1$ для $x_j\leq \abs{x}\leq x_{j+1}$, иначе $\chi_j(x)=0$. Предположим, что точки $x_j$ равномерно распределены вдоль оси $x$ так, что $x_{j+1}-x_j=a=\rm const$. Ищем решение соответствующего стационарного уравнения Шредингера

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2 \Psi(x)}{\partial x^2} +U(x) \Psi(x)=\varepsilon\Psi(x) (2)$$

в следующей форме:

$$\Psi(x)=\sum_{j=0}^{J} \chi_j(x)\psi_{j}(x)=\sum_{j=0}^{J} \chi_j(x)\left[A_{j}e^{ik_{j} \left(x-x_j\right) } +B_{j}e^{-ik_{j} \left(x-x_j\right) } \right], (3)$$

где

$$k_{j}=\sqrt{\dfrac{2m \left( \varepsilon-U_j\right)}{\hbar^2}}. (4)$$

Функция $\Psi(x)$ удовлетворяет граничному условию равенства нулю при $\abs{x}\to \infty$. Сохранение потока вероятности приводит к тому, что

$$\psi_{j-1}(x_j)=\psi_{j}(x_j)\qquad {\rm and}\qquad \left.\dfrac{{\rm d} \psi_{j-1}}{{\rm d} x}\right\vert_{x=x_j} =\left.\dfrac{{\rm d} \psi_{j}}{{\rm d} x}\right\vert_{x=x_j} (5)$$

для любого $j\leq J$. Используя уравнения (3) и (5), получаем:

$$A_{j}+B_{j}=A_{j-1}e^{ik_{j-1}a}+B_{j-1}e^{-ik_{j-1}a}, (6)$$

$$A_{j}-B_{j}=\dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}\left[ A_{j-1}e^{ik_{j-1}a}-B_{j-1}e^{-ik_{j-1}a}\right]. (7)$$

Решая систему уравнений (6), (7) относительно коэффициентов $A_{j}$ и $B_{j}$, получаем:

$$A_{j}=\dfrac{A_{j-1}}{2}\left( \dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}+1\right) e^{ik_{j-1}a}-\dfrac{B_{j-1}}{2}\left( \dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}-1\right) e^{-ik_{j-1}a}, (8)$$

$$B_{j}=-\dfrac{A_{j-1}}{2}\left( \dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}-1\right) e^{ik_{j-1}a}+\dfrac{B_{j-1}}{2}\left( \dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}+1\right) e^{-ik_{j-1}a}. (9)$$

Поскольку $U(x)=U(-x)$, оператор Гамильтона и оператор четности коммутируют. Это означает, что решениями уравнения (2) являются четные ($\Psi^+$) и нечетные ($\Psi^-$) функции. Для четных функций: $\psi^+_j (x)=\psi^+_j (-x)$ и

$$B^+_{j}=A^+_{j} e^{-2i k_{j} x_j }. (10)$$

Для нечетных функций $\psi^-_j (x)=-\psi^-_j (-x)$ и

$$B^-_{j}=-A^-_{j} e^{-2i k_{j} x_j }. (11)$$

Используя уравнения (8)-(11), окончательно получаем следующие рекуррентные соотношения:

$$A^{\pm}_{j}=\dfrac{A^{\pm}_{j-1}e^{ik_{j-1}a}}{2}\left[ \dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}+1 \mp\left( \dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}-1\right) e^{-2ik_{j-1}x_j}\right], (12)$$

$$B^{\pm}_{j}=\dfrac{B^{\pm}_{j-1}e^{-ik_{j-1}a}}{2}\left[ \dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}+1 \mp\left( \dfrac{k_{j-1}}{k_{j}}-1\right) e^{2ik_{j-1}x_j}\right]. (13)$$

Функция $\Psi(x)$ должна удовлетворять граничному условию равенства нулю при $\abs{x}\to \infty$. Чтобы выполнить это условие, нам нужно потребовать, чтобы $B_J=0$, иначе последний член в правой части уравнения (3) будет расти экспоненциально когда $\abs{x}\to \infty$. Предполагая, что $a$ мало, и учитывая уравнение (13), приближенно получаем:

$$B^{\pm}_{j}\approx B^{\pm}_{j-1}e^{-ik_{j-1}a} (14)$$

или

$$B^{\pm}_{J}\approx B^{\pm}_{0}e^{-ia \sum_{j=1}^{J}k_{j-1}}. (15)$$

Учитывая, что $B^{\pm}_{J}=0$ и устремляя $a$ к 0 ($a={\rm d}x$), т. е. переходя к непрерывному пределу, сразу получаем:

$$B^{\pm}_{0}e^{\frac{-i\sqrt{2m}}{\hbar} \int \sqrt{\varepsilon-U(x)}{\rm d}x}=0. (16)$$

И вот тут кроется неувязочка: чтобы получить обычное условие квантования Бора-Зоммерфельда правая часть уравнения (16) должна в точнсти равняться $B^{\pm}_{0}$ а она равняется нулю!!!???....

[Утундрий]

(Оффтоп)

Всё это сильно напоминает анекдот про одного студента, который потратил уйму сил, чтобы конформно отобразить внутренность правильного $n$-угольника на верхнюю полуплоскость. После чего перешёл к пределу и "открыл" функцию Жуковского.

[reterty]

Утундрий в сообщении #1633174 писал(а):

(Оффтоп)

Всё это сильно напоминает анекдот про одного студента, который потратил уйму сил, чтобы конформно отобразить внутренность правильного $n$-угольника на верхнюю полуплоскость. После чего перешёл к пределу и "открыл" функцию Жуковского.

Ну почему же: topic150460.html

[madschumacher]

reterty в сообщении #1633173 писал(а):

Мой вопрос адресован всем компетентным участникам форума, но в первую очередь, к уважаемым madschumacher и Cos(x-pi/2).

Ну как Вы знаете, я с этим облажался

reterty в сообщении #1633173 писал(а):

остроить решения стационарного уравнения Шредингера для симметричной "лестничной" квантовой ямы и, пользуясь ними в непрерывном пределе, получить известное правило квантования Бора-Зоммерфельда.
Попытка решения: Представим потенциальную энергию частицы как ступенчатую функцию вида:

Как я понимаю, у Вас тут с самого начала рассматривается не та система: поскольку у Вас есть граница интервала справа и слева, то Вы решаете не ту задачу: у Вас симметричный "лестничный" потенциал в бесконечном потенциальном ящике. А для бесконечных стенок, что Вы предполагаете полагая $B_J^{\pm}=0$, другое правило квантования Б-З (что-то похожее на которое, Вы, собственно, и получаете).

[miflin]

(Оффтоп)

reterty в сообщении #1633173 писал(а):

...к уважаемым madschumacher и Cos(x-pi/2).

А как же быть со свободой воли?

[reterty]

madschumacher в сообщении #1633295 писал(а):

Как я понимаю, у Вас тут с самого начала рассматривается не та система: поскольку у Вас есть граница интервала справа и слева, то Вы решаете не ту задачу: у Вас симметричный "лестничный" потенциал в бесконечном потенциальном ящике. А для бесконечных стенок, что Вы предполагаете полагая $B_J^{\pm}=0$, другое правило квантования Б-З (что-то похожее на которое, Вы, собственно, и получаете).

Да нет, у меня как раз ступенчатая яма КОНЕЧНОЙ глубины $U_J$ и КОНЕЧНОЙ ширины $2Ja$. Только, по-моему, я все же облажался, поскольку суммировать (интегрировать) нужно не по всей общей ширине ямы а лишь между точками классического поворота! Поэтому условие экспоненциального затухания на бесконечности тут непричем!?7

[Cos(x-pi/2)]

Квазиклассическое приближение, с необходимыми оценками точности и с условиями применимости, - сложная тема. Соответственно, и аккуратный вывод "правил Бора-Зоммерфельда" не является простым. В большинстве учебников, где говорится о ВКБ-приближении, вывод есть. Пытаться подменять серьёзный вывод каким-то упрощённым своим велосипедом - плохая идея.

"Приближения" (14), (15) не обоснованы оценками. По этим формулам коэффициенты на разных участках различаются только фазовыми множителями. Вряд ли это верно.

На мой взгляд, лучше оставить в покое "правила Бора-Зоммерфельда" и просто со ступенчатым потенциалом типа (1) порешать разные задачи; среди них есть много поучительных.

Только надо уточнить формулировки. Например, из формул (5), в которых $j\leq J,$ видно, что $j$ нумерует границы участков. Поскольку крайняя правая граничная точка $x_j$ имеет номер $j=J,$ то область $x_J<x<\infty$ имеет номер $J+1.$ Область $-\infty<x<x_0$ имеет номер ноль. Коэффициенты нумеруются так же, как участки. Значит, в стационарных состояниях, локализованных в яме (т.е с энергией $\varepsilon$ меньшей высоты стенок ямы) должно быть $A_0=0$ и $B_{J+1}=0.$ Суммирование в (3) будет до $j=J+1;$ причём, $x_{J+1}$ есть произвольное значение, оно влияет только на выбор фазы для $A_{J+1}.$

Равенства $\psi^+_j (x)=\psi^+_j (-x)$ и $\psi^-_j (x)=-\psi^-_j (-x)$ неверные. Чётность или нечётность связывает друг с другом значения волновой функции на разных участках - расположенных симметрично относительно центра ямы, а не на участке с одним и тем же номером $j.$


Задачи со ступенчатыми потенциалами (притом не обязательно с участками одинаковой длины, можно и с разными длинами $l_j)$ удобно решать методом "матриц переноса". Одна из возможных формулировок этого метода вот какая. Вместо $A_j$ и $B_j$ рассматриваем $a_j=\sqrt{k_j}A_j$ и $b_j=\sqrt{k_j}B_j.$ Тогда из условий типа (6) и (7) имеем:

$$\begin{bmatrix}a_j\\ b_j \end{bmatrix}\,=\,\hat{t}^{(j)}\,\begin{bmatrix}a_{j+1}\\ b_{j+1} \end{bmatrix}$$

где матрица

$$\hat{t}^{(j)}=\left[\begin{array}{cc}\dfrac{k_j+k_{j+1}}{2\sqrt{k_jk_{j+1}}}e^{-ik_{j+1}l_{j+1}}&\dfrac{k_j-k_{j+1}}{2\sqrt{k_jk_{j+1}}}e^{ik_{j+1}l_{j+1}}\\ \dfrac{k_j-k_{j+1}}{2\sqrt{k_jk_{j+1}}}e^{-ik_{j+1}l_{j+1}}&\dfrac{k_j+k_{j+1}}{2\sqrt{k_jk_{j+1}}}e^{ik_{j+1}l_{j+1}} \end{array}\right]$$

Коэффициенты крайних участков связаны произведением таких матриц:

$$\begin{bmatrix}a_0\\ b_0 \end{bmatrix}\,=\,\hat{T}\,\begin{bmatrix}a_{J+1}\\ b_{J+1} \end{bmatrix}$$

где

$$\hat{T}=\hat{t}^{(0)}\hat{t}^{(1)}...\,\hat{t}^{(J)}$$

Другими словами, если нумеровать элементы матрицы $\hat{T}$ номерами $1$ и $2,$ то:

$$a_0=T_{11}\,a_{J+1}+T_{12}\,b_{J+1}$$

$$b_0=T_{21}\,a_{J+1}+T_{22}\,b_{J+1}$$

Матрицы $\hat{t}^{(j)},$ а с ними и матрица $\hat{T},$ являются унимодулярными: их определители равны единице.

Выделяются два типа задач:

В задачах про энергетические уровни в яме (т.е. когда энергия $\varepsilon$ ниже высоты потенциальных стенок в крайних областях) должно выполняться условие $\psi(x)\to 0$ при $x\to \pm\infty.$ Поэтому $a_0=0$ и $b_{J+1}=0.$ Значит:

$$0=T_{11}a_{J+1},\qquad b_0=T_{21}a_{J+1}.$$

Отсюда следует, поскольку $a_{J+1}\neq 0,$ что

$$T_{11}=0.$$

Это уловие, $T_{11}=0,$ есть точное трансцендентное уравнение, которым определяются уровни $\varepsilon_n$ в яме со ступенчатым потенциалом. (Если очень хочется, попытайтесь извлечь из него "правила Бора-Зоммерфельда", с обоснованием и оценками; я не знаю, как.)

Пример учебного сюжета типа расчётного задания для студентов: можно начать с ямы с плоским дном, и смотреть, как изменяется спектр уровней, если в середине ямы выращивать барьер, меняя его толщину и/или высоту. Ещё пример: посмотреть, как расщепляются уровни в двух ямах, первоначально разделённых толстым и высоким барьером, при уменьшении его высоты и/или толщины; различаются случаи симметричных и несимметричных ям.

Второй тип задач - вычисление вероятности $D$ прохождения частицы и вероятности отражения $R=1-D$ через барьеры/ямы, когда энергия частицы $\varepsilon$ превышает значения потенциала $U_0$ и $U_{J+1}$ в крайних областях. Пусть источник частиц имеется только слева от участков ступенчатого потенциального рельефа (при $x\to -\infty).$ Тогда $b_{J+1}=0.$

Величина $a_0$ определяет плотность потока вероятности $j_{\text{пад}}$, падающего из источника на потенциальный рельеф слева направо:

$$j_{\text{пад}}=\frac{\hbar k_0}{m}|A_0|^2=\frac{\hbar}{m}|a_0|^2.$$

Отражённый поток (назад, в область "0") и прошедший вперёд (в область "J+1") соответственно есть:

$$j_{\text{отр}}=\frac{\hbar}{m}|b_0|^2,\qquad j_{\text{прош}}=\frac{\hbar}{m}|a_{J+1}|^2.$$

Вероятности определяются отношениями потоков:

$$D=\frac{j_{\text{прош}}}{j_{\text{пад}}}=\frac{|a_{J+1}|^2}{|a_0|^2}$$

$$R=\frac{j_{\text{отр}}}{j_{\text{пад}}}= \frac{|b_0|^2}{|a_0|^2}$$

С помощью равенств

$$a_0=T_{11}a_{J+1}, \qquad b_0=T_{21}a_{J+1},$$

искомые вероятности выражаются через элементы матрицы $\hat{T}:$

$$D=\frac{1}{|T_{11}|^2}\,,\qquad R=\frac{|T_{21}|^2}{|T_{11}|^2}\,.$$

Интересный учебный сюжет: рассмотреть квазистационарные состояния в яме между двумя барьерами конечной толщины и высоты, рассчитать вероятность $D(\varepsilon)$ туннелирования через такую пару барьеров, изобразить характерные "пики" на графике зависимости $D(\varepsilon)$ - эффект резонансного туннелирования.

[reterty]

Cos(x-pi/2)
Спасибо Вам огромное! Как всегда, по делу. Четко. Прозрачно. Доходчиво. По поводу моих стенаний)) вспомнился грук Питера Хейна "Who is scientist?" в переводе Варденги: "Кто вечерами, забыв про кровать, усердно роется в книжной груде. Чтоб еще кой-чего узнать ИЗ ТОГО ЧТО ЗНАЮТ ДРУГИЕ ЛЮДИ".....))