[ФАн] Предкомпактность эллипсоида в l_p

[gron]

Друзья, пришлось столкнуться с серией задач, которые в общем виде можно сформулировать так:
При каких $a,b$ множество $$M=\left\{x \in l_p \, : \, \sum_{n=1}^\infty n^a |x_n|^b \leqslant 1 \right\}$$ предкомпактно в $l_p$?

Копаю в сторону критерия предкомпактности в $l_p$, а именно то, что множество должно быть ограниченно по норме, и "хвост" последовательностей равномерно по всем $x \in l_p$ стремится к нулю.

Есть идеи? Интересно было бы обсудить.

Спасибо за внимание!

[zoo]

gron писал(а):

Друзья, пришлось столкнуться с серией задач, которые в общем виде можно сформулировать так:
При каких $a,b$ множество $$M=\left\{x \in l_p \, : \, \sum_{n=1}^\infty n^a |x_n|^b \leqslant 1 \right\}$$ предкомпактно в $l_p$?

Копаю в сторону критерия предкомпактности в $l_p$, а именно то, что множество должно быть ограниченно по норме, и "хвост" последовательностей равномерно по всем $x \in l_p$ стремится к нулю.

Есть идеи? Интересно было бы обсудить.

Спасибо за внимание!

$p>1$
$\sum |x_n|^p\le (\sum |x_n|^{pu}n^{su})^{1/u}(\sum \frac{1}{n^{sv}})^{1/v}$
где $1/u+1/v=1$ ; $u,v\ge 1$
$sv>1$
$su\le a$
$pu\ge b$
однако есть нюансы:lol:

Для любителей: написать условие слабой компактности $M$ в $l_p$

зы множество $M$ будет компактным, не надо писать про предкомпактность