Простой несобственный интеграл(или непростой?)

[Ascold]

Требуется вычислить или установить расходимость интеграла

$$\int_0^\infty\frac{dx}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}.$$

Что пробовал делать я: тригонометрическую подстановку $x=tgt$ - не вычисляется нормально, получается интеграл от косинуса в степени 2/3. Интегрируемым биномиальным дифференциалом исходное выражение тоже не является(что 1/2, что 2/3+1/2 - не целые). Наверное, надо увидеть мажорируемый этим интегралом расходящийся интеграл, но что-то не вижу, какой...

[wrest]

Ascold в сообщении #1632861 писал(а):

вычислить или установить расходимость интеграла

Ну он точно не расходится: функция начинается с единицы и потом начинает уменьшаться быстрее чем $x^{-1}$ имея пределом ноль.
Ну то есть искомый интеграл где-то между $\int_1^\infty\frac{dx}{\sqrt[3]{x^4}}$ и $\int_1^\infty\frac{dx}{\sqrt[6]{x^7}}$

[Combat Zone]

Ascold
Интеграл сходится, доказать это совсем просто, оставляю на вас. Вычисление - нужной заменой свести к бета-функции.

[Ascold]

Combat Zone в сообщении #1632884 писал(а):

Ascold
Интеграл сходится, доказать это совсем просто, оставляю на вас. Вычисление - нужной заменой свести к бета-функции.

Точно: $x^2=t/(1-t).$