Геометрическая вероятность

[moonruleni9ne]

Точка, имеющая координаты $(x, y)$, случайно выбирается из квадрата $[0;1]^{2}$. Для $z\in[0;1]$ вычислить $P(xy<z)$.
В одном из сборников эта задача сформулирована при $0<z<1$, и там же дан ответ на эту задачу: $z-zln(z)$. Я понимаю, как получен этот ответ (ищется площадь под графиком гиперболы), но ведь в решении при переходе к неравенству вида $y<z/x$ нужно, как мне представляется, обозначить, что $x\ne0$, а это значит, как мне кажется, что следует рассмотреть случай, когда $x=0$. Тогда получается, что $P(0<z)=1$, где $0<z<1$, так как ноль всегда меньше любого положительного числа, меньшего 1. И тогда, как мне представляется, ответ должен иметь вид: $z-zln(z)$ при $x\ne0$ и $1$ при $x=0$ или $y=0$, однако в сборнике ответ выглядит так, как написано выше. В связи с этим у меня вопрос: надо ли рассматривать отдельный этот случай или нет и почему? Понимаю, что задача простая, но возникли сомнения как раз из-за этого случая. А возвращаясь к исходной задаче, также возникает вопрос, надо ли рассматривать отдельно граничные точки $z=0$ и $z=1$, ведь, например, при $z=0$ $P(xy<0)=0$, так как $xy\geqslant0$ при $x,y\in[0,1]$?

[Combat Zone]

moonruleni9ne в сообщении #1632867 писал(а):

а это значит, как мне кажется, что следует рассмотреть случай, когда $x=0$.

moonruleni9ne в сообщении #1632867 писал(а):

ответ должен иметь вид: $z-zln(z)$ при $x\ne0$ и $1$ при $x=0$ или $y=0$,

Ответ от координат точки не зависит, он зависит от $z$. Просят найти вероятность, что произведение координат случайно выбранной на квадрате точки меньше $z$. В этой формулировке нет никаких $x$ и $y$, так что ответ от них зависеть не может - и не зависит.

Граничные точки отрезка

moonruleni9ne в сообщении #1632867 писал(а):

граничные точки $z=0$ и $z=1$

- да, смотрите. При $z=1$ ответ будет таким же, как и на интервале.

[tolstopuz]

Если вы по какой-то причине хотите разделить исходный квадрат на несколько областей и посчитать для них вероятность отдельно, то потом надо скомбинировать все эти числа по формуле полной вероятности:

$$P(A)=\sum_iP(A|B_i)P(B_i).$$

При геометрическом подходе это означает, что надо умножить вероятность в каждой области на долю площади этой области и сложить их все.

Как нетрудно заметить, площадь части квадрата, где $x=0$ или $y=0$, равна нулю, поэтому какова бы ни была $P(xy<z|x=0\vee y=0)$, она умножится на $0$ и не повлияет на ответ.

Это означает, что частями нулевой площади типа всяких точек или линий можно сразу пренебречь.