Что можно сказать о поведении остатка в Теореме Тейлора?

[tolstopuz]

У вас ус отклеился в знаменателе ноль.

(точнее, $\min$ не существует, но можно заменить на $\inf$, тогда будет ноль)

[Mikhail_K]

reterty
Что такое $\min|x-a|$?

[reterty]

Был бы очень благодарен и рад, если бы кто-то из участников форума предложил здесь пристойную оценку для такой константы

[пианист]

reterty в сообщении #1632641 писал(а):

конечная константа $C$ не зависящая от $x$ такая что $| h_1(x)| \leq C \forall x \in [A,B]$.

reterty в сообщении #1632719 писал(а):

Я хотел знать константу для любых $f(x)$.

reterty в сообщении #1632770 писал(а):

пристойную оценку для такой константы

Например, $f(x) = M x^2$, $a=0$, $[A,B] = [-1, 1]$.
$h_1(x)$ будет, очевидно, равно $Mx$, наилучшая оценка $M$.
Что бы Вы назвали "пристойной оценкой"?

[Null]

reterty в сообщении #1632770 писал(а):

Был бы очень благодарен и рад, если бы кто-то из участников форума предложил здесь пристойную оценку для такой константы

Cупремум функции $|h_1|$ на $[A,B]/{a}$. Или вы хотите супремум $|f'(x)-f'(a)|$? - Он вроде тоже подходит, но нужна дифференцируемость на всем отрезке, что у вас не дано.

[tolstopuz]

Null в сообщении #1632776 писал(а):

Или вы хотите супремум $|f'(x)-f'(a)|$? - Он вроде тоже подходит, но нужна дифференцируемость на всем отрезке, что у вас не дано.

Как раз дано, и это совершенно естественная оценка.

reterty в сообщении #1632617 писал(а):

Предположим что функция $f$ дифференцируемая для всех $ x \in [ A, B]$. Можем ли мы тогда утверждать что функция $h_1$ равномерно ограничена для всех $ x \in [ A, B]$?

[reterty]

Чисто формально мы можем написать, что
$|h_1(x)| \leq \frac{ \max |f(x)| + |f(a)|}{\delta} + |f ' (a)| $ для $|x-a| \geq \delta$,
и $| h_1(x)| \leq \eps = \eps(\delta)$ для $| x - a| <\delta $.
Далее зафиксировать любое $\delta$, например, $\delta = 0.01$,
а в качестве $ \eps $ взять $|f(x)|$, но мне нужна равномерная оценка
по $x$, чтобы я мог для любой заданной функции сразу посчитать
константу для всех $x$.

[mihaild]

Вариант Null Вас не устраивает? Он получается из того что $f(x) = f(a) + (x - a) \cdot f'(\xi)$.

[reterty]

Null в сообщении #1632776 писал(а):

reterty в сообщении #1632770 писал(а):

Был бы очень благодарен и рад, если бы кто-то из участников форума предложил здесь пристойную оценку для такой константы

Cупремум функции $|h_1|$ на $[A,B]/{a}$. Или вы хотите супремум $|f'(x)-f'(a)|$? - Он вроде тоже подходит, но нужна дифференцируемость на всем отрезке, что у вас не дано.

Спасибо! Такой вариант меня вполне устраивает.