Что можно сказать о поведении остатка в Теореме Тейлора?

[reterty]

Пусть $ f : R^1 \to R^1$ дифференцируемая функция в точке $a \in R^1$. Тогда (https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem) существует функция $h_1(x) : R^1 \to R^1$ такая что

$$f(x) = f(a) + f '(a) (x-a) + h_1(x) (x-a),$$

причем $h_1(x) \to 0$ когда $x \to a$. Предположим что функция $f$ дифференцируемая для всех $ x \in [ A, B]$. Можем ли мы тогда утверждать что функция $h_1$ равномерно ограничена для всех $ x \in [ A, B]$?

[mihaild]

Не очень понятно, Вы раскладываете с центрами в разных точках, т.е. по сути пишете $f(x) = f(a) + f'(a) (x - a) + h(a, x) (x - a)$, и спрашиваете об ограниченности $h(a, x)$?
Ну и это не теорема Тейлора, это просто определение производной.

[reterty]

mihaild в сообщении #1632619 писал(а):

Не очень понятно, Вы раскладываете с центрами в разных точках, т.е. по сути пишете $f(x) = f(a) + f'(a) (x - a) + h(a, x) (x - a)$, и спрашиваете об ограниченности $h(a, x)$?
Ну и это не теорема Тейлора, это просто определение производной.

Я привел теорему Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, где функция $h_1$ зависит только от $x$. Данная теорема часто используется в теории аппроксимаций. А вопрос, в следующем, если мой $x$ будет пробегать весь интервал $[A,B]$, то будет ли при этом функция $h_1(x)$ равномерно ограниченной для всех $x \in [A,B]$?

[mihaild]

Что такое в данном случае "равномерная ограниченность" и чем она отличается от просто ограниченности?
Просто ограниченной очевидно будет. В окрестности $a$ потому что она там бесконечно малая, а в остальных местах потому что она вообще непрерывна (частное непрерывных функций с отделенным от нуля знаменателем).

[reterty]

mihaild в сообщении #1632631 писал(а):

Что такое в данном случае "равномерная ограниченность" и чем она отличается от просто ограниченности?
Просто ограниченной очевидно будет. В окрестности $a$ потому что она там бесконечно малая, а в остальных местах потому что она вообще непрерывна (частное непрерывных функций с отделенным от нуля знаменателем).

Под равномерностью я имел ввиду следующее: существует конечная константа $C$ не зависящая от $x$ такая что $| h_1(x)| \leq C \forall x \in [A,B]$. Насколько я правильно вас понял, то вы имеете ввиду Теорему Вейерштрасса, а существование предела функции $h_1$ в точке $a$ понимаете как непрерывность. Правильно ли я понимаю что в данном случае значение константы $С$ зависит от $f$ и $f '$?

[mihaild]

reterty в сообщении #1632641 писал(а):

существует конечная константа $C$ не зависящая от $x$ такая что $| h_1(x)| \leq C \forall x \in [A,B]$.

Это просто ограниченность, потому что "зависящая от $x$" константа есть для любой определенной на $[A, B]$ функции.

reterty в сообщении #1632641 писал(а):

а существование предела функции $h_1$ в точке $a$ понимаете как непрерывность

Строго говоря значение $h(a)$ можно выбрать любым.
Важно следующее: если $|x-a|<\delta$, то $|h(x)|<1$. А если $|x-a|\geq \delta$, то выразите $h$ из формулы выше.

reterty в сообщении #1632641 писал(а):

Правильно ли я понимаю что в данном случае значение константы $С$ зависит от $f$ и $f '$?

В смысле что для разных функций она бывает разная? Ну да.

[reterty]

mihaild в сообщении #1632645 писал(а):

reterty в сообщении #1632641 писал(а):

существует конечная константа $C$ не зависящая от $x$ такая что $| h_1(x)| \leq C \forall x \in [A,B]$.

Это просто ограниченность, потому что "зависящая от $x$" константа есть для любой определенной на $[A, B]$ функции.

reterty в сообщении #1632641 писал(а):

а существование предела функции $h_1$ в точке $a$ понимаете как непрерывность

Строго говоря значение $h(a)$ можно выбрать любым.
Важно следующее: если $|x-a|<\delta$, то $|h(x)|<1$. А если $|x-a|\geq \delta$, то выразите $h$ из формулы выше.

reterty в сообщении #1632641 писал(а):

Правильно ли я понимаю что в данном случае значение константы $С$ зависит от $f$ и $f '$?

В смысле что для разных функций она бывает разная? Ну да.

Хорошо, А можно ли выписать эту константу в явном виде? Если да, то как она выглядит для заданного отрезка?

[mihaild]

reterty в сообщении #1632691 писал(а):

А можно ли выписать эту константу в явном виде?

Выразите $h(x)$ через $x$, $f(x)$ и $f'(a)$.

[reterty]

mihaild в сообщении #1632703 писал(а):

reterty в сообщении #1632691 писал(а):

А можно ли выписать эту константу в явном виде?

Выразите $h(x)$ через $x$, $f(x)$ и $f'(a)$.

Я хотел знать константу для любых $f(x)$. На данный момент у меня получается оценка, что $|h_1(x)| \leq C = 2 ( \mathop {\max} \limits_{x \in [A,B]}} |f(x)| + |f(a)| ) + | f '(a)|.$ Можете ли вы предложить что-то точнее?

[mihaild]

Это просто неправда. Существует функция на $[-1, 1]$ такая что $|f(x)| \leq 1$, $f(0) = f'(0) = 0$, $f\left(\frac{1}{100}\right) = 1$.

[reterty]

mihaild в сообщении #1632730 писал(а):

Это просто неправда. Существует функция на $[-1, 1]$ такая что $|f(x)| \leq 1$, $f(0) = f'(0) = 0$, $f\left(\frac{1}{100}\right) = 1$.

Какое это отношение это имеет к оценке $h_1(x)$? И где противоречие в моей оценке константы?

[Mikhail_K]

reterty в сообщении #1632732 писал(а):

Какое это отношение это имеет к оценке $h_1(x)$? И где противоречие в моей оценке константы?

Ну подставьте $a=0$, $x=0.01$ в формулу

reterty в сообщении #1632617 писал(а):

$$f(x) = f(a) + f '(a) (x-a) + h_1(x) (x-a),$$

Возьмите $A=-1$, $B=1$. Если в качестве функции $f$ взять функцию, о которой идёт речь в сообщении mihaild, чему там будет равно $h_1(0.01)$? И какое неравенство для $h_1(0.01)$ получается согласно Вашей оценке?

[reterty]

mihaild в сообщении #1632730 писал(а):

Это просто неправда. Существует функция на $[-1, 1]$ такая что $|f(x)| \leq 1$, $f(0) = f'(0) = 0$, $f\left(\frac{1}{100}\right) = 1$.

Подставил $a = 0$ в мою формулу и получил
$ |h_1(x) | \leq 2 \mathop {\max} \limits_{x \in [-1,1] } |f(x)| = 2 \ \forall x \in [-1,1]$,
т.е. $|h_1(x)| \leq 2 \ \forall x \in [-1,1]$. Где тут противоречие?
Я понимаю что моя оценка грубая, поэтому и спросил есть ли более
точные варианты.

[mihaild]

reterty в сообщении #1632741 писал(а):

Где тут противоречие?

Mikhail_K в сообщении #1632733 писал(а):

Ну подставьте $a=0$, $x=0.01$ в формулу

reterty в сообщении #1632617 писал(а):

$$f(x) = f(a) + f '(a) (x-a) + h_1(x) (x-a),$$

Возьмите $A=-1$, $B=1$. Если в качестве функции $f$ взять функцию, о которой идёт речь в сообщении mihaild, чему там будет равно $h_1(0.01)$?

[reterty]

mihaild в сообщении #1632730 писал(а):

Это просто неправда. Существует функция на $[-1, 1]$ такая что $|f(x)| \leq 1$, $f(0) = f'(0) = 0$, $f\left(\frac{1}{100}\right) = 1$.

Я понял ваш контрпример.
Предлагаю уточнить оценку следующем образом,
$ |h_1(x)| \leq \frac{\max |f(x)| +| f(a)| } {\min | x -a| } + | f '(a)| \ \forall x \in [A,B] \setminus \{ a \}$
и $ h_1(a) = 0$. Что есть точнее?