Школьник не понимает, что такое "луч", помогите пожалуйста.

[Neznajka_]

Добрый день!
Столкнулся, как мне пока кажется, с неоднозначностью определения "луча" (в геометрии).
Вот определение (ну или что-то претендующее на определение) из учебника (Атанасяна):

Цитата:

Проведем прямую а и отметим на ней точку О. Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О. Точка О называется началом каждого из лучей.

Есть дополнение к этому учебнику, в котором предлагается (с помощью основных аксиом планиметрии) доказать следующее утверждение (т.е. подразумевается, что оно априори истинное):

Цитата:

Если начало луча АВ (точка А) лежит на прямой а, а точка В - в какой-то полуплоскости с границей а, то и весь луч лежит в этой полуплоскости (1)

Любая точка прямой а не принадлежит ни одной из полуплоскостей, на которые плоскость разбивается прямой а - это мне известно тоже из этого же учебника.
Получается, что если утверждение (1) истинно т.е. весь луч лежит в одной из полуплоскостей, то начало луча (точка А) не является частью луча, не принадлежит ему. Как-то я раньше особого внимания на данный вопрос не обращал, хотя вроде уже сталкивался с противоречиями, но было лень разбираться. Сейчас же озадачился, и в поисках ответа вышел в Интернет. Вот, например, что пишет Википедия:

Цитата:

Луч (в геометрии) или полупрямая — часть прямой, состоящая из данной точки (начало луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.

Начало луча могут включать в множество точек луча (тогда говорят о замкнутом луче) или не включать (тогда говорят об открытом луче).

Каждая точка O на прямой разбивает множество точек этой прямой, отличных от O, на два открытых луча[1] (отсюда название полупрямая). Каждый из этих лучей будет называться дополнительным лучом относительно другого луча. Причём точка O лежит между любыми двумя точками прямой, принадлежащими разным дополнительным лучам.

Получается, что есть два вида лучей - где начало принадлежит лучу, и где начало не принадлежит лучу. Тогда вопрос - а в каких именно случаях какое определение должно использоваться?
Пока что получается путаница. Ну вот например для (1) очевидно, что подразумевается "открытый луч". Ну ок, а как быть тогда например с доказательством равенства треугольников по сторонам и углу между ними, в котором есть вот такие фразы:

Цитата:

вершина $A $совместится с вершиной $A_{1}$, а стороны $AB$ и $AC$ наложатся соответственно на лучи $A_{1}B_{1}$ и $A_{1}C_{1}$. Поскольку $AB$ $=$ $A_{1}B_{1}$, $AC$ $=$ $A_{1}C_{1}$, то сторона $AB$ совместится со стороной $A_{1}B_{1}$, а сторона AC - со стороной $A_{1}C_{1}$; в частности, совместятся точки $B$ и $B_{1}$, C и $C_{1}$

Стороны AB и AC - это, насколько понимаю, отрезки AB и AC. То есть точки A и B являются частью отрезка AB, как и точки A и C являются частью отрезка AC. Здесь я исхожу также из определения отрезка, данного в этом же учебнике, если что. Соответственно, в этом доказательстве под "лучом" подразумевается "замкнутый луч", насколько я понимаю. Иначе полное наложение этих сторон друг на друга будет невозможно.

Заранее благодарю за объяснение.

[svv]

Neznajka_ в сообщении #1631987 писал(а):

Получается, что если утверждение (1) истинно т.е. весь луч лежит в одной из полуплоскостей, то начало луча (точка А) не является частью луча, не принадлежит ему.

Но обратите внимание, что и с полуплоскостью та же история, границу полуплоскости можно причислять к ней, либо нет:

Википедия, статья Полуплоскость писал(а):

Если сама прямая $Ax + By + C = 0$ (граница полуплоскости) причисляется к этой полуплоскости, то такую полуплоскость называют замкнутой.

[Neznajka_]

svv в сообщении #1631989 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1631987 писал(а):

Получается, что если утверждение (1) истинно т.е. весь луч лежит в одной из полуплоскостей, то начало луча (точка А) не является частью луча, не принадлежит ему.

Но обратите внимание, что и с полуплоскостью та же история, границу полуплоскости можно причислять к ней, либо нет:

Википедия, статья Полуплоскость писал(а):

Если сама прямая $Ax + By + C = 0$ (граница полуплоскости) причисляется к этой полуплоскости, то такую полуплоскость называют замкнутой.

А как тогда понимать, что именно в данном конкретном случае имеется в виду?
Ну хорошо, в случае моего задания понятно, что там надо доказать истинность утверждения.
А если бы по контексту не было понятно, истинно оно или нет - как тогда надо было-бы трактовать термин "луч"?
Или это ложная проблематика, и двусмысленности не бывает, а проблема именно в этом учебнике?

[svv]

Neznajka_ в сообщении #1632047 писал(а):

А как тогда понимать, что именно в данном конкретном случае имеется в виду?

Ну, чаще всего всё-таки приводится ясное определение. Если нет, то обычно понятно из контекста. Иногда непонятно, зато понятно, что принципиально это не важно. Иногда (это я уже о других аналогичных неоднозначностях) приходится рыться в книгах, когда хочется с самого начала стать на правильные рельсы, и не хочется строить в голове параллельно две альтернативные картины, чтобы потом одну отбросить.

[EUgeneUS]

Neznajka_ в сообщении #1631987 писал(а):

Получается, что есть два вида лучей - где начало принадлежит лучу, и где начало не принадлежит лучу. Тогда вопрос - а в каких именно случаях какое определение должно использоваться?

Ладно, два вида лучей.
А если мы нарисуем отерзок? У него два конца, а значит четыре вида!
Хотя есть некоторые соглашения:
1. Если оба конца включаются, то это отрезок.
2. Если оба конца не включаются, то это интервал. Иногда уточняют, что открытый интервал.
3. А вот если один конец включен, а другой нет - то могут быть варианты. Википедия предлагает называть полуинтервалом.

Тут важны две вещи:
а) понимание, что граница может включаться (полностью или частично) в множество или не включаться (полностью или частично).
б) говорить так, чтобы Вас поняли, что имеется в виду.

[Geen]

Neznajka_ в сообщении #1632047 писал(а):

А как тогда понимать, что именно в данном конкретном случае имеется в виду?

А это важно для данного конкретного доказательства?

[svv]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1632061 писал(а):

отерзок

Это то, что остаётся от человека, которого истерзали (или он сам себя) до основания.

[Neznajka_]

Ок, спасибо за ваши ответы.

[Ende]

Выделена тема «Задача о раскраске и граничные точки»

[talash]

Я провёл небольшое исследование, откуда взялась проблема. Смотри ниже, но сначала скопирую своё сообщение, уехавшее в другую тему:

talash в сообщении #1632538 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1632520 писал(а):

https://postimg.cc/gnn3RrdF

Нагуглил текст из вашего учебника, link. Действительно, похоже там неявно предполагается, что луч открытый. При этом луч обозначается подобным образом $[AB)$, где закрытая скобка не значит, что точка $A$ принадлежит лучу, а значит, что точка $A$ фиксированная (про это нашёл здесь). Что ещё больше усиливает путаницу.

Вся путаница происходит оттого, что явно не написали, что начало луча не принадлежит этому самому лучу. Я когда первый раз прочитал текст ниже не понял сходу открытый луч или закрытый.

Цитата:

Говорят, что точка $O$ прямой вместе с некоторой другой точкой $A$ этой прямой определяет на ней полупрямую или луч $OA$; точки, лежащие с той же стороны от $O$, что и точка $A$, называются точками полупрямой $OA$, а точка $O$ — началом этой полупрямой, точка $B$ прямой $a$, лежащая с другой стороны от точки $O$, определяет вторую полупрямую (луч). Полупрямые $OA$ и $OB$ называются дополнительными. Таким образом, точка $O$ на прямой $a$ определяет на этой прямой две полупрямые с общим началом $O$.
link

А у Гильберта чётко написано, что называется лучём:

Цитата:

Все точки прямой $a$, лежащие по одну и ту же сторону от точки $O$ называются также лучем, исходящим из точки $O$
link

Моё мнение, не должно быть в школе понятия открытых/закрытых лучей. Должно быть чётко определено, как у Гильберта, что начало луча не принадлежит лучу.

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1633215 писал(а):

Должно быть чётко определено, как у Гильберта, что начало луча не принадлежит лучу.

Ага: луч- это линия не имеющая начала и конца.
Чтобы из прямой получить два луча с ней достаточно провести топологическую операцию по ампутации почки точки.А объединить два луча в прямую вообще не получится- нужна еще точка, которую надо пришить обратно.

По мне так лучше объяснить детям, что геометрия- это как урок рисования, там есть кисточки, карандаши и краски, а ножниц нет. А топология- это урок труда на которрм разрезают склеивают, выкалывают и сшивают. И в ней наоборрт нет красок и фломастеров, а есть ношницы нитки иголки и клей.

Уж проще оставить все как есть в предположении что в каждой точке континуум слоев краски. И будем раздваивать, отображать и размножать точки сколь угодно, делать из одной прямой две, даже десять и глвное за это нам ничего не будет.

[talash]

Alpha AXP в сообщении #1633225 писал(а):

Уж проще оставить все как есть в предположении что в каждой точке континуум слоев краски. И будем раздваивать, отображать и размножать точки сколь угодно, делать из одной прямой две, даже десять и глвное за это нам ничего не будет.

Как есть, это считать, что луч исходит из точки, которая ему не принадлежит. Это ещё от Гильберта пошло. А у Евклида вовсе не было лучей. В одном уверен, что разбирать нюансы включения граничных точек(линий, плоскостей) должно быть не важно для практической геометрии, потому что включённая или исключённая граничная точка(линия, плоскость) не влияет на размер геометрической фигуры.

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1633227 писал(а):

Как есть, это считать, что луч исходит из точки, которая ему не принадлежит.

Помню меня учили в школе лет эдак 35 назад, что луч - это прямая линия, которая имеет начало, но не имеет конца.

Сейчас в Википедии пишут:

wikipedia писал(а):

Луч (в геометрии) или полупрямая — часть прямой, состоящая из данной точки (начало луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.
Начало луча могут включать в множество точек луча (тогда говорят о замкнутом луче) или не включать (тогда говорят об открытом луче).

Вот определение с сайта "Российской электронной школы, 5 класс, урок 21:

РЭШ писал(а):

Итак, луч – это прямая линия, которая имеет начало, но не имеет конца.

Вот из учебника:

Цитата:

Лучом или полупрямой называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от неё по одну сторону.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 7 – 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений

Т.е. в основном сейчас принято как и прежде, что луч имеет начало, но не имеет конца и точка включается в луч.

А Гильберт - он был давно, а не сейчас.

Вы предложили решать проблему путем ее вырезания из рассмотрения. Перефразируя Иосифа Виссарионовича : Есть человек точка -есть проблема, нет человека точки - нет проблемы.

[talash]

Alpha AXP в сообщении #1633281 писал(а):

Помню меня учили в школе лет эдак 35 назад, что луч - это прямая линия, которая имеет начало, но не имеет конца.

По Гильберту начало тоже есть, но эта точка не принадлежит лучу.

Alpha AXP в сообщении #1633281 писал(а):

Вот из учебника: Цитата:

Лучом или полупрямой называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от неё по одну сторону.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 7 – 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений

Т.е. в основном сейчас принято как и прежде, что луч имеет начало, но не имеет конца и точка включается в луч.

Это уже недоработка, если разные определения в разных учебниках.

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1633307 писал(а):

Это уже недоработка, если разные определения в разных учебниках

Те, что я привел- не разные. Просто определение из Википедии более широкое и включает в себя дополнительно определение открытого луча.