Эллиптический интеграл

[finn_parnichka2]

Имеется интеграл
$\int\limits_{0}^{\varphi_0}\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi } d\varphi
по форме - эллиптический, однако параметр $k>>1$ много больше единицы, но верхний предел интегрирования $\varphi_0$ таков, что подынтегральное уравнение все еще действительно
$k^2\sin\varphi_0<1$
Является ли этот интеграл эллиптическим? Можно ли как-то определить его приближенное значение при $\varphi_0 << 1$ без численного расчета?

[vpb]

Там возле синуса квадрат не пропущен ? Типа $\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}$.

[finn_parnichka2]

vpb
Да, спасибо, поправил

[vpb]

Тогда эллиптический (в смысле, выражается через эллиптические). Сейчас прикину, подробности напишу.

[Утундрий]

Так это просто эллиптический второго рода, даже преобразовывать ничего не нужно.

[Markiyan Hirnyk]

Вики называет его нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода. Мэйпл считает

EllipticE(0.1e-2, 300)
0.9847908528e-3
 

[vpb]

Утундрий в сообщении #1632328 писал(а):

даже преобразовывать ничего не нужно.

Нужно, т.к. параметр ("модуль" называется) больше единицы.

Итак, надо посчитать интеграл $I=\int_0^\alpha \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\, d\varphi$, при условии $k>>1$. Сделаем замену $\sin\psi=k\sin\varphi$, стало быть $\sin\varphi=k^{-1}\sin\psi$, $\varphi=\arcsin (k^{-1}\sin \psi)$, $\psi=\arcsin (k\sin \varphi)$. Соответственно, верхний предел интегрирования превращается в $\beta=\arcsin (k\sin\alpha)$.

Дальше имеем $\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}=\sqrt{1-\sin^2\psi}=\cos\psi$,

$$ d\varphi= d\psi\cdot (\sqrt{1-(k^{-1}\sin\psi)^2})^{-1}\cdot k^{-1}\cos\psi\,$$

откуда

$$ I=\int_0^\beta k^{-1} \frac{\cos^2\psi\, d\psi}{\sqrt{1-k^{-2}\sin^2\psi}} =k^{-1}\int_0^\beta \frac{\cos^2\psi\, d\psi}{\sqrt{1-k^{-2}\sin^2\psi}}\,.$$

-- 09.03.2024, 20:56 --

В последнем же интеграле подынтегральная функция, как легко видеть, есть

$$ k^2\cdot \sqrt{1-k^{-2}\sin^2\psi}+\frac{1-k^2}{\sqrt{1-k^{-2}\sin^2\psi}}\,.$$

Значит, интеграл равен

$$ k E(\beta, k^{-1})+\frac{1-k^2}k F(\beta, k^{-1})\,, $$

где $E$ и $F$ --- эллиптические интегралы 2-го и 1-го рода, соответственно.

-- 09.03.2024, 21:00 --

(Для удобства я заменил $\varphi_0$ на $\alpha$.)

-- 09.03.2024, 21:18 --

Приближенное значение при $\alpha<<1$ определить, конечно, можно. При малых $\varphi$ имеем $\sin\varphi\approx \varphi$, значит интеграл превращается в $\int_0^\alpha \sqrt{1-k^2x^2}\, dx$. Который как-то там считается (разберитесь сами). Если учесть дальнейшие члены ряда Тейлора для синуса, то можно нужный интеграл, в принципе, по степеням $k$ и $\alpha$ разложить.

[finn_parnichka2]

vpb
Спасибо!

[vpb]

Пожалуйста.