Предположим что для натуральных, взаимно простых чисел
![$x,y,z$ $x,y,z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/244be3c7db382d3e1400c7c4caa1023a82.png)
, где
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
нечетное, выполняется равенство:
![$x^3=z^3-y^3$ $x^3=z^3-y^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/0/8b023966e29c9389d985395688e3aa0182.png)
(1);
Любой куб натурального числа может быть представлен в виде:
![$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6$ $x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/f/c4fc433341155e234fe1ac346efc070c82.png)
(2);
С учетом (2) можно записать (1) в виде:
![$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6=3((z-1)^3-(y-1)^3)-3((z-2)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$ $x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6=3((z-1)^3-(y-1)^3)-3((z-2)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/0/d902d5d34db815b5cad00cdc5ba189d182.png)
(3);
Чтобы правая часть второго равенства (3) приобрела вид левой, должно выполняться:
![$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+1$ $(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/d/d2de4b41c557f70942fd7bc8d44f818a82.png)
(4.1);
![$(z-2)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+8$ $(z-2)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+8$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/f/29f9ace55411ebc7e5d551fc585cd6ab82.png)
(4.2);
![$(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+27$ $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+27$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/5/7459ef925566b6907f4a5a925c44357782.png)
(4.3);
Или:
![$(z-1)^3-(z-2)^3=(x-1)^3+1$ $(z-1)^3-(z-2)^3=(x-1)^3+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/d/e5dcb317aff0417be30ae626537f88fe82.png)
(5.1);
![$(y-1)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+8$ $(y-1)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+8$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/d/7fdde7156b07a4489892636242ca2bd082.png)
(5.2);
![$(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+27$ $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+27$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/5/7459ef925566b6907f4a5a925c44357782.png)
(4.3);
Из (4.1) и (5.1) следует, что
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
- соседние числа.
А из (4.1) и (1) следует, что одно из них невозможно, и значит невозможны оба.
Рассмотрим теперь равенство квадрата разности двух других квадратов:
![$x^2=z^2-y^2$ $x^2=z^2-y^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/7/207c05d36d8a9e24f3e510fbde206e4d82.png)
(6);
Любой квадрат натурального числа может быть представлен в виде:
![$x^2=2(x-1)^2-(x-2)^2+2$ $x^2=2(x-1)^2-(x-2)^2+2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/8/4a8a8530e9fab96a919f26a11e1ee66882.png)
(7);
С учетом (7) можно записать (6) в виде:
![$x^2=2((z-1)^2-(y-1)^2)-((z-2)^2-(y-2)^2)$ $x^2=2((z-1)^2-(y-1)^2)-((z-2)^2-(y-2)^2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3ead62458c6c96786497c21cd3ab66582.png)
(8);
Что бы получить из правой части (8) правую часть (7) должно выполняться:
![$(z-1)^2-(y-1)^2=(x-1)^2-1$ $(z-1)^2-(y-1)^2=(x-1)^2-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/c/67cd629a5a267b12766580bf2c21c3c682.png)
(8.1); и
![$(z-2)^2-(y-2)^2=(x-2)^2-4$ $(z-2)^2-(y-2)^2=(x-2)^2-4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/3/4639c77487fc41a5bf23dabee72bb62382.png)
(8.2);
Тогда:
![$x^2=2((x-1)^2-1)-((x-2)^2-4)=(2(x-1)^2-2)-((x-2)^2-4)=2(x-1)^2-(x-2)^2+2$ $x^2=2((x-1)^2-1)-((x-2)^2-4)=(2(x-1)^2-2)-((x-2)^2-4)=2(x-1)^2-(x-2)^2+2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/b/abb98664126768ced714943b44e8f56282.png)
(8.3);
Принимая
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
соседними, нетрудно убедиться что в отличии от кубов, равенства (8.1), (8.2) выполняются вместе с (6).