Как разложить, вроде как, простую функцию в ряд Лорана?

[Ascold]

Требуется разложить

$$f(z)=\frac{1}{(z-3)^2}$$

по степеням $z-1$ в кольце $1<|z-1|<2$. Раскладываю сначала без квадрата:

$$\frac{1}{z-3}=\frac{1}{z-1-2}=\frac{1}{-2\left(1-(z-1)/2\right)}=-\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-1)^n}{2^{n+1}}$$

И поэтому

$$\frac{1}{(z-3)^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-1)^n}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^\infty\frac{(z-1)^k}{2^{k+1}}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(z-1)^{n+k}}{2^{n+k+2}}=\sum_{m=0}^\infty\frac{(m+1)!(z-1)^{m}}{2^{m+2}}.$$

Здесь замена $n+k=m$ и учёт того, что слагаемых с разными $n$ и $k$, дающими в сумме $m$, будет $(m+1)!$ штук,
однако в ответах к таким заданиям нет никаких факториалов, что я делаю не так?

[mihaild]

Ascold в сообщении #1632103 писал(а):

слагаемых с разными $n$ и $k$, дающими в сумме $m$, будет $(m+1)!$ штук

Как-то перебор. Например при $m = 2$ какие будут слагаемые?

[Ascold]

mihaild в сообщении #1632106 писал(а):

Как-то перебор. Например при $m = 2$ какие будут слагаемые?

всё, понял, их будет $m+1$ штук, ибо это просто количество, а не число перестановок.