2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как разложить, вроде как, простую функцию в ряд Лорана?
Сообщение07.03.2024, 15:46 
Требуется разложить $$f(z)=\frac{1}{(z-3)^2}$$ по степеням $z-1$ в кольце $1<|z-1|<2$. Раскладываю сначала без квадрата: $$\frac{1}{z-3}=\frac{1}{z-1-2}=\frac{1}{-2\left(1-(z-1)/2\right)}=-\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-1)^n}{2^{n+1}}$$
И поэтому $$\frac{1}{(z-3)^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-1)^n}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^\infty\frac{(z-1)^k}{2^{k+1}}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(z-1)^{n+k}}{2^{n+k+2}}=\sum_{m=0}^\infty\frac{(m+1)!(z-1)^{m}}{2^{m+2}}.$$
Здесь замена $n+k=m$ и учёт того, что слагаемых с разными $n$ и $k$, дающими в сумме $m$, будет $(m+1)!$ штук,
однако в ответах к таким заданиям нет никаких факториалов, что я делаю не так?

 
 
 
 Re: Как разложить, вроде как, простую функцию в ряд Лорана?
Сообщение07.03.2024, 16:03 
Аватара пользователя
Ascold в сообщении #1632103 писал(а):
слагаемых с разными $n$ и $k$, дающими в сумме $m$, будет $(m+1)!$ штук
Как-то перебор. Например при $m = 2$ какие будут слагаемые?

 
 
 
 Re: Как разложить, вроде как, простую функцию в ряд Лорана?
Сообщение07.03.2024, 16:22 
mihaild в сообщении #1632106 писал(а):
Как-то перебор. Например при $m = 2$ какие будут слагаемые?

всё, понял, их будет $m+1$ штук, ибо это просто количество, а не число перестановок.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group