2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Кубы и квадраты
Сообщение06.03.2024, 21:39 


17/06/18
410
Предположим что для натуральных, взаимно простых чисел $x,y,z$, где $x$ нечетное, выполняется равенство:
$x^3=z^3-y^3$ (1);
Любой куб натурального числа может быть представлен в виде:
$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6$ (2);
С учетом (2) можно записать (1) в виде:
$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6=3((z-1)^3-(y-1)^3)-3((z-2)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$ (3);
Чтобы правая часть второго равенства (3) приобрела вид левой, должно выполняться:
$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+1$ (4.1); $(z-2)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+8$ (4.2); $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+27$ (4.3);
Или:
$(z-1)^3-(z-2)^3=(x-1)^3+1$ (5.1); $(y-1)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+8$ (5.2); $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+27$ (4.3);
Из (4.1) и (5.1) следует, что $z$ и $y$ - соседние числа.
А из (4.1) и (1) следует, что одно из них невозможно, и значит невозможны оба.

Рассмотрим теперь равенство квадрата разности двух других квадратов:
$x^2=z^2-y^2$ (6);
Любой квадрат натурального числа может быть представлен в виде:
$x^2=2(x-1)^2-(x-2)^2+2$ (7);
С учетом (7) можно записать (6) в виде:
$x^2=2((z-1)^2-(y-1)^2)-((z-2)^2-(y-2)^2)$ (8);
Что бы получить из правой части (8) правую часть (7) должно выполняться:
$(z-1)^2-(y-1)^2=(x-1)^2-1$ (8.1); и $(z-2)^2-(y-2)^2=(x-2)^2-4$ (8.2);
Тогда:
$x^2=2((x-1)^2-1)-((x-2)^2-4)=(2(x-1)^2-2)-((x-2)^2-4)=2(x-1)^2-(x-2)^2+2$ (8.3);
Принимая $z$ и $y$ соседними, нетрудно убедиться что в отличии от кубов, равенства (8.1), (8.2) выполняются вместе с (6).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение06.03.2024, 21:57 
Заслуженный участник


12/08/10
1645
dick в сообщении #1632028 писал(а):
Чтобы правая часть второго равенства (3) приобрела вид левой, должно выполняться:
Что такое иметь "приобрела вид "? И почему оно должно иметь место?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение06.03.2024, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4671
dick в сообщении #1632028 писал(а):
Чтобы правая часть второго равенства (3) приобрела вид левой, должно выполняться:
Это неверно. Нет, не должно.

Грубо говоря, из того что $1+6=3+4$, не следует ни то, что $1=3,\,6=4$, ни то, что $1=4,\,6=3$.
У Вас какое-то похожее ошибочное рассуждение.

Обратите также внимание: чтобы левая часть была равна правой при некоторых $x,y,z$, вовсе не обязательно, чтобы она алгебраически приводилась к правой части.
То есть правая часть вовсе не обязана "приобретать вид левой" с буквенными обозначениями, просто её значение может совпасть со значением левой части для каких-то $x,y,z$. Даже если у них совсем разный вид.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение06.03.2024, 23:23 


17/06/18
410
Это не единственный вариант представления (1), но этот вариант обязательно существует, если выполняется (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение07.03.2024, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8728
Цюрих
И еще раз говорю: пишите кванторы (ну или что-то, из чего они легко восстанавливаются). Без всяких "вариант существует".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение07.03.2024, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4671
dick в сообщении #1632037 писал(а):
этот вариант обязательно существует, если выполняется (1)

1) Какой "этот" вариант?
2) Что значит "вариант существует"? Это значит, что он возможен? Или что он обязательно выполняется?
3) И почему он "обязательно существует"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение07.03.2024, 21:38 


17/06/18
410
1. "Этот" вариант, это вариант равенств (4.1), (4.2), (4.3).
2. В приведенной цитате сказано "обязательно существует", так и есть.
3. Если левые части равенства равны, то правые также равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение07.03.2024, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4671
dick в сообщении #1632143 писал(а):
Если левые части равенства равны, то правые также равны
Но никакие отдельные слагаемые в левой части не обязаны быть равны каким-то отдельным слагаемым в правой части. Контрпример я привёл выше: $1+6=3+4$, хотя ни одно слагаемое в левой части не равно ни одному слагаемому в правой части.
Непонятно также происхождение слагаемых $1$, $8$, $27$ в (4.1), (4.2), (4.3) и в (5.1), (5.2), (5.3). Откуда они вообще взялись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение08.03.2024, 14:47 


17/06/18
410
Не то написал, следовало сказать: Если левые части двух равенств равны, то правые также равны, вплоть до идентичности.
Я не против Вашего контрпримера, но притом что 1+6=3+4, остается и 1+6=1+6.
Что касается чисел 1, 8, 27, они, с учетом знаков "+" и "-", и коэффициентов для трех слагаемых правой части (3), обеспечивают идентичность этой правой части (после подстановки (4.1), (4.2), (4.3)), и правой части (2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение08.03.2024, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4671
dick в сообщении #1632210 писал(а):
Что касается чисел 1, 8, 27, они, с учетом знаков "+" и "-", и коэффициентов для трех слагаемых правой части (3), обеспечивают идентичность этой правой части (после подстановки (4.1), (4.2), (4.3)), и правой части (2).
Если Вы замените $1$, $8$, $27$, например, на $2$, $7$, $21$, то тоже после подстановки всё будет получаться.
Почему $1$, $8$, $27$, а не $2$, $7$, $21$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение08.03.2024, 23:13 


17/06/18
410
Потому что правая часть (2) без шестерки это $x^3-6$ и это -6 собрано так: $3(-1)^3-3(-2)^3+(-3)^3$. Поэтому и компенсацию числа -6 проводим почленно, с обратным знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение08.03.2024, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4671
dick
Но $-6$ можно "собрать" и по-другому: $3\cdot 2-3\cdot 7+21$. Если в одном месте в рассуждении оно "собрано" одним способом, то ничего не мешает в другом месте ему быть "собранным" другим способом.

В математике нет таких способов рассуждений, как у Вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение09.03.2024, 08:50 


17/06/18
410
Поскольку $(z-1)$ и $(y-1)$ числа разной четности, а $(x-1)$ - четное, в равенстве (4.1) второе слагаемое правой части должно быть нечетным.
Аналогично для (4.2), второе слагаемое правой части должно быть четным. Так что Ваша тройка не подходит. предлагайте другую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение09.03.2024, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4671
dick в сообщении #1632275 писал(а):
Так что Ваша тройка не подходит. предлагайте другую.
Я бы мог предложить другую тройку. Но дело в том, что это Вы должны доказать, что нет никаких других вариантов, кроме (4.1)-(4.3) и (5.1)-(5.3). У Вас этого доказательства нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение09.03.2024, 18:56 


17/06/18
410
Я не утверждал, что мой вариант-единственный, хотя и сомневаюсь что у Вас есть другая правильная тройка. Не утверждал потому, что считаю что ложность или истинность равенства не зависит от вариантов представления входящих в него частей (слагаемых).
Важно другое, именно то, что не касаясь (4.1)-(4.3) и (5.1)-(5.3), из правой части второго равенства (3) следует что разность соседних разностей несоседних кубов равна разности несоседних разностей соседних кубов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group