Количество решений у комплексного уравнения.

[warning233]

Добрый вечер! С прошлыми двумя задачками разобрался и теперь хочу разобраться в последней.

Сколько решений имеет уравнение $z^{3n} + \bar{z}^{n} = 0$

Я начал с того, что домножил обе части уравнения на $z^n$. Получил в итоге следующее:
$z^{4n} + |z|^{2n} = 0$

Потом я все переписал в тригонометрической форме и пришел к следующему:

$|z|^{2n}(|z|^{2n}(\cos(4n\varphi) + i\sin(4n\varphi)) + 1) = 0$

А что мне делать дальше? Как ответить на вопрос, поставленный в задаче. У меня такое чувство, что это очень просто, но я не могу просто понять этого. Очень нужна ваша помощь!

[dgwuqtj]

Я бы не складывал числа в тригонометрической форме, а изначально перенёс одно из слагаемых в другую сторону. И не забывайте, что у нуля тригонометрическая форма плохо определена.

[мат-ламер]

warning233
Только что в соседней теме вы писали, что некая волшебная подстановка подтолкнула вас к решению. Тут подстановка другая. Сами догадайтесь. После чего вычисления упрощаются.

[warning233]

мат-ламер в сообщении #1631925 писал(а):

warning233
Только что в соседней теме вы писали, что некая волшебная подстановка подтолкнула вас к решению. Тут подстановка другая. Сами догадайтесь. После чего вычисления упрощаются.

Понимаю, что поздновато отвечаю, но все же отвечу. Не понимаю о какой подстановке вы говорите. К слову, я рассмотрел вариант для n = 1 и получил количество решений равное 5(включая 0). И предполагаю, что количество решений выглядит следующим образом: 4n + 1. Но до сих пор не понимаю, каким образом формально это доказать. Не вижу, что тут можно заменить, поэтому прошу вашей помощи. Заранее благодарю за ответ!

[warlock66613]

Ну например $z^n=t$ (в исходном уравнении).

[bot]

warning233 в сообщении #1631917 писал(а):

Я начал с того, что домножил обе части уравнения на $z^n$.

warning233 в сообщении #1631917 писал(а):

Потом я все переписал в тригонометрической форме

И ни разу не задумались о возможном значении модуля?