2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество решений у комплексного уравнения.
Сообщение05.03.2024, 19:36 


15/11/23
25
Добрый вечер! С прошлыми двумя задачками разобрался и теперь хочу разобраться в последней.

Сколько решений имеет уравнение $z^{3n} + \bar{z}^{n} = 0$

Я начал с того, что домножил обе части уравнения на $z^n$. Получил в итоге следующее:
$z^{4n} + |z|^{2n} = 0$

Потом я все переписал в тригонометрической форме и пришел к следующему:

$|z|^{2n}(|z|^{2n}(\cos(4n\varphi) + i\sin(4n\varphi)) + 1) = 0$

А что мне делать дальше? Как ответить на вопрос, поставленный в задаче. У меня такое чувство, что это очень просто, но я не могу просто понять этого. Очень нужна ваша помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество решений у комплексного уравнения.
Сообщение05.03.2024, 20:26 
Заслуженный участник


07/08/23
1396
Я бы не складывал числа в тригонометрической форме, а изначально перенёс одно из слагаемых в другую сторону. И не забывайте, что у нуля тригонометрическая форма плохо определена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество решений у комплексного уравнения.
Сообщение05.03.2024, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7243
warning233
Только что в соседней теме вы писали, что некая волшебная подстановка подтолкнула вас к решению. Тут подстановка другая. Сами догадайтесь. После чего вычисления упрощаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество решений у комплексного уравнения.
Сообщение11.03.2024, 22:52 


15/11/23
25
мат-ламер в сообщении #1631925 писал(а):
warning233
Только что в соседней теме вы писали, что некая волшебная подстановка подтолкнула вас к решению. Тут подстановка другая. Сами догадайтесь. После чего вычисления упрощаются.

Понимаю, что поздновато отвечаю, но все же отвечу. Не понимаю о какой подстановке вы говорите. К слову, я рассмотрел вариант для n = 1 и получил количество решений равное 5(включая 0). И предполагаю, что количество решений выглядит следующим образом: 4n + 1. Но до сих пор не понимаю, каким образом формально это доказать. Не вижу, что тут можно заменить, поэтому прошу вашей помощи. Заранее благодарю за ответ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество решений у комплексного уравнения.
Сообщение11.03.2024, 23:46 
Заслуженный участник


02/08/11
7089
Ну например $z^n=t$ (в исходном уравнении).

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество решений у комплексного уравнения.
Сообщение12.03.2024, 04:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
warning233 в сообщении #1631917 писал(а):
Я начал с того, что домножил обе части уравнения на $z^n$.


warning233 в сообщении #1631917 писал(а):
Потом я все переписал в тригонометрической форме


И ни разу не задумались о возможном значении модуля?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group