Биномиальные коэффициенты - разные формулы подсчета

[Andrey from Mos]

Здравствуйте, форумчане.

Нашел две разных формулы для расчета биномиальных коэффициентов:
первую
$ \binom{n}{k}=\frac{n\cdot (n-1)(n-2)...[n-(k-1)]}{1\cdot2 \cdot 3...k} $

и вторую
$ C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} $

И вот при помощи второй формулы нулевой член (при k=0) подсчитать получается, а по первой формуле я не понимаю, как это можно сделать (и можно ли вообще).
Можно ли по первой формуле это сделать или нет? Вторая является более универсальной что ли?
И почему у буквы C индекс k стоит наверху, а n - внизу. Ведь это же "коэффициент из n по k". В скобках (первая формула) наоборот k стоит внизу. По-моему, логичнее было бы все же n ставить наверх (как в скобках у первой формулы). Почему такое расхождение в обозначениях?

[dgwuqtj]

Andrey from Mos в сообщении #1630801 писал(а):

Можно ли по первой формуле это сделать или нет? Вторая является более универсальной что ли?

Первая формула более общая, в ней вместо $n$ можно подставлять любое комплексное число (например). При $k = 0$ в числителе будет 0 сомножителей, то есть единица.

[iifat]

Andrey from Mos в сообщении #1630801 писал(а):

Можно ли по первой формуле это сделать или нет?

Можно, если написать её математически:

$$\frac{\prod\limits_{i=1}^k{n-i+1}}{\prod\limits_{i=1}^ki}$$

[Andrey from Mos]

Спасибо за разъяснения. Я как-то забыл, что если сомножителей нет, то получается единица в числителе

to iifat:
Каким образом ваше написание позволяет это сделать, если у вас i начинается с единицы? И причем здесь тогда n в вашей формуле?

[iifat]

Andrey from Mos в сообщении #1630858 писал(а):

причем здесь тогда n

Ну, припишите слева $C_n^k$, и сразу станет ясно, при чём тут $n$ и при чём тут $k$.

Andrey from Mos в сообщении #1630858 писал(а):

если у вас i начинается с единицы

$i$ у меня начинается с единицы по единственной причине: такова формула для $C_n^k$. Разумеется, можно начать хоть с нуля, хоть с -10, исправив одновременно верхний предел и формулу под суммой.

[Евгений Машеров]

dgwuqtj в сообщении #1630803 писал(а):

Первая формула более общая, в ней вместо $n$ можно подставлять любое комплексное число (например).

Если кому-то вдруг и зачем-то понадобится считать $C^k_n$ при комплексных k или n, то, наверно, лучше воспользоваться второй формулой, выразив факториалы через гамма-функцию

(Оффтоп)

Как-то знакомый программист потребовал от меня срочно дать ему формулу для численного расчёта гамма-функции. После вытаскивания нескольких аппроксимаций я догадался уточнить у него, что за задача - оказалось, что все параметры целые, так что надо было всего лишь факториалы посчитать.

По первой, боюсь, пришлось бы придумывать, что есть "мнимое число сомножителей".

[Alex Krylov]

Евгений Машеров в сообщении #1630930 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1630803 писал(а):

Первая формула более общая, в ней вместо $n$ можно подставлять любое комплексное число (например).

Если кому-то вдруг и зачем-то понадобится считать $C^k_n$ при комплексных k или n, то, наверно, лучше воспользоваться второй формулой, выразив факториалы через гамма-функцию

(Оффтоп)

Как-то знакомый программист потребовал от меня срочно дать ему формулу для численного расчёта гамма-функции. После вытаскивания нескольких аппроксимаций я догадался уточнить у него, что за задача - оказалось, что все параметры целые, так что надо было всего лишь факториалы посчитать.

По первой, боюсь, пришлось бы придумывать, что есть "мнимое число сомножителей".

А иногда при вычислениях, включающих биноминальные коэффициенты, Гамма-функции и всевозможные их произведения/отношения лучше использовать логарифмическую Гамма-функцию, она же gammaln в Matlab. Что позволяет избежать многих проблем, связанных с возникновением крайне больших промежуточных чисел.

[Евгений Машеров]

Ну, поиграв с порядком сомножителей, можно избежать промежуточных переполнений.

[MGM]

Евгений Машеров в сообщении #1630956 писал(а):

Если кому-то вдруг и зачем-то понадобится считать $C^k_n$ при комплексных k или n

У меня не хватает фантазии, чтобы даже близко представить такую задачу.
Тем более, что это не совсем корректно. Символ $C^k_n$ не предполагает не то что комплексных k и n, но даже рациональных.