Движение частицы в необычном поле

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1631020 писал(а):

Ок, тогда почему метод предложенный Варлоком дает верное уравнение ?

Что тут подразумевается? Если это:

warlock66613 в сообщении #1630798 писал(а):

Я имею в виду без законов сохранения.

1) Выразите все ваши коэффициенты через время $t_0$ и координату $y_0$ пересечения линии $x=0$.
2) Найдите кинетическую энергию $T$ до и после пересечения как функцию $t_0$ и $y_0$.
3) Найдите действие $\int (T - U) dt$ как функцию $t_0$ и $y_0$. (Интеграл распадается на сумму двух частей — от $0$ до $t_0$ и от $t_0$ до $\tau$.)
4) Найдите минимум действия как функции двух переменных.

То
1) у Вас не получилось получить правильный ответ. Вы, выполнив неверные действия, получили ответ, как в решебнике. Он неправильный.
2) если делать аккуратно (как - примерно я Вам показал), то
а) получите опять уравнение 4-й степени.
б) будет всё тоже самое, если решать просто из законов сохранения и геометрии. Как выше уже неоднократно говорилось.

[espe]

Предположу, что авторы задачника имели ввиду следующее решение.

Так как по оси $y$ движение равномерное, то дальше рассматриваем движение только по оси $x$.
Действие имеет вид

$$S[x(t)]=\int_0^\tau\Bigl[ \frac{m\dot{x}^2}{2}-V\theta(x)\Bigr]dt\eqno(1)$$

Уравнения движения для этого действия имеют вид

$$m\ddot{x}+V\delta(x)=0.$$

Видим, что в областях $x<0$ и $x>0$ движение равномерное

$$x(t)=\begin{cases} A_1t+B_1, & \text{если $x<0$;} \\ A_2t+B_2, & \text{если $x> 0$.} \end{cases} \eqno(2)$$

Разбиваем интеграл действия на две части

$$S=\int_0^{t_0} \frac{m\dot{x}^2}{2}dt+\int_{t_0}^\tau\Bigl[ \frac{m\dot{x}^2}{2}-V\Bigr]dt,\eqno(3)$$

где

$$t_0=\frac{a}{A_1}\eqno(4)$$

время, когда частица проходит координату $x=0$.
Подставляем (2) в (3), получаем

$$S(A_1,A_2)=\frac{mA_1^2}{2}t_0+\Bigl[ \frac{mA_2^2}{2}-V\Bigr](\tau-t_0).\eqno(5)$$

Закон сохранения энергии даёт

$$A_1^2=A_2^2+\dfrac{2V}{m}.\eqno(6)$$

Подставляем (4) и (6) в (5), получаем

$$S(A_1)=\frac{mA_1^2}{2}\tau-2(\tau-t_0)V=\frac{mA_1^2}{2}\tau-2V\tau+\frac{2Va}{A_1}$$

Ищем экстремум

$$\frac{\partial S}{\partial{A_1}}=mA_1\tau-\frac{2Va}{A_1^2}=0.$$

Отсюда получаем

$$A_1^3=\frac{2Va}{m\tau}.$$

[Poehavchij]

EUgeneUS

Poehavchij в сообщении #1631010 писал(а):

EUgeneUS
2)Из-за того, что если попытаться найти параметры из законов сохранения как я и пытался, и непрерывности по Х (т.е. $x_1(t_0) = x_2(t_0)$ ибо тректория непрерывна ибо точка не может телепортироваться ), и попытаться найти найти параметры с помошью метода предложеным Варлоком,а именно посчитать действия, и найти его минимум дифференциированием параметром $t_0$, и $y_0$, то при дифференциировании по $t_0$ то мы получим для $t_0$ ОДНО И ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ (я проверял), т.е. и тут это работает.
и

[warlock66613]

espe в сообщении #1631025 писал(а):

Подставляем (4) и (6) в (5)

Вот похоже и источник ошибки: так нельзя делать. Варьирование при условии сохранения энергии — совсем не то же самое что варьирование без этого условия.

[Poehavchij]

espe
Да, мы это уже поняли) Теперь мы (ну вообще я, мне это пытаются отчаянно обьяснить) пытаемся понять почему этот метод решения не верный

[espe]

warlock66613 в сообщении #1631027 писал(а):

Варьирование при условии сохранения энергии

Поясните пожалуйста, что варьируется при условии сохранения энергии.

[warlock66613]

espe, действие. Вы в действие подставили закон сохранения энергии, а потом стали искать минимум. Так нельзя делать, потому что это минимум при условии сохранения энергии и он не совпадает с минимумом без такого условия.

[EUgeneUS]

warlock66613 в сообщении #1631032 писал(а):

Вы в действие подставили закон сохранения энергии, а потом стали искать минимум. Так нельзя делать, потому что это минимум при условии сохранения энергии и он не совпадает с минимумом без такого условия.

ИМХО, тут важно не то что, ЗСЭ подставили - всё равно решение будет там, где ЗСЭ выполняется.
А то, что при такой подстановке потеряли привязку в крайних точках (или сшивку на "границе сред").

Если же учитывать оба условия, то никакой вариации и принципа наименьшего действия уже не нужно (он уже использовался при выводе сохранения импульса по вертикали и при выводе ЗСЭ), сразу получается система из двух уравнений.

[Poehavchij]

То что сказали EUgeneUS, amon и что сказал warlock66613 требуют от меня некоторых умственных усилий. Завтра постараюсь выдать некий результат

[espe]

Если речь идёт о формуле (5), то это не действие (в смысле не функционал и вариации действия там нет), это действие вычисленное на траектории (2), т.е. функция. Я ищу минимум функции (5) при дополнительных условиях (4) и (6) и не вижу здесь проблем.

Или имелось ввиду что-то другое?

EUgeneUS в сообщении #1631034 писал(а):

А то, что при такой подстановке потеряли $\ldots$ ($\ldots$ сшивку на "границе сред").

Уравнение, которое раньше было без номера,

$$m\ddot{x}+V\delta(x)=0.\eqno(1a)$$

как раз и говорит, что непрерывности $x(t)$ и её производных при пересечении $x=0$ нет. Из этого уравнения также следует, что случай $V=0$ и случай $V\to0$ не совпадают.

[EUgeneUS]

espe в сообщении #1631039 писал(а):

Уравнение, которое раньше было без номера,

$$m\ddot{x}+V\delta(x)=0.\eqno(1a)$$

как раз и говорит, что непрерывности $x(t)$ и её производных при пересечении $x=0$ нет

Чего?
У Вас, поди, и модуль икс в нуле не непрерывен.
И вообще, телепортация - это не наш метод.

[amon]

espe в сообщении #1631039 писал(а):

как раз и говорит, что непрерывности $x(t)$ и её производных при пересечении $x=0$ нет.

Производная рвется, сама функция непрерывна.

[Poehavchij]

EUgeneUS
Вот честно, пытался понял про то что точки разьехались, но не понял.
Просто два нюанса
Метод 1) Используем непрерывность и законы сохранения (БЕЗ принципа наименьшего действия)
Мы точно знаем что
$x_{1}(t) = A_{1} t - a $
$y_{1}(t) = C_{1} t $
$x_{2}(t) = A_{2}(t -\tau) + a $
$y_{2}(t) = C_{2}(t-\tau)+a $
А используя ЗСЭ и ЗСИ (для Y) и непрерывность в точке $t_0$ (пока тоже по Y) получим
$y_{2}(t) = y_{1}(t) = \frac{a}{\tau} t $
$x_{1}(t) = v_x t - a $
$x_{2}(t) = \sqrt{v_x^2 - \frac{2V}{m}} (t -\tau) + a $
Это было в самом первом сообщении. Хорошо. Теперь если я перейду от $v_x$ к $t_0$, и попробую найти $t_0$ из непрерывности траектории, т.е. $x_1(t_0) = x_2(t_0) = 0$, то в конечном итоге приду к такому уравнению $\frac{2V}{m }$ {t_0}^2(t_0-$\tau$)^2 + 2a^2$\tau$ t_0 - a^2 $\tau$^2 = 0
Ок, запомнил
Метод 2) Используем непрерывность и принцип наименьшего действия (БЕЗ законов сохранения)
Это то что предлагал Варлок,

Цитата:

1) Выразите все ваши коэффициенты через время $t_0$ и координату $y_0$ пересечения линии $x=0$.
2) Найдите кинетическую энергию $T$ до и после пересечения как функцию $t_0$ и $y_0$.
3) Найдите действие $\int (T - U) dt$ как функцию $t_0$ и $y_0$. (Интеграл распадается на сумму двух частей — от $0$ до $t_0$ и от $t_0$ до $\tau$.)
4) Найдите минимум действия как функции двух переменных.

Я это сделал. Для $y_0$ я легко получил $ y_0 = \frac{at}{\tau}$
При попытке продифференциировать по $t_0$ я получил, к удивлению $\frac{2V}{m }$ {t_0}^2(t_0-$\tau$)^2 + 2a^2$\tau$ t_0 - a^2 $\tau$^2 = 0
Ага... Таким образом, метод, в котором мы вычисляем действие , а потом его дифференциируем РАБОТАЕТ
но, при использовании ЗСЭ/ЗСИ(?) он ломается, и..я не пойму почему. Но просто от такого метода ничего вроде как не разьежаеться

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1631050 писал(а):

Метод 1) Используем непрерывность и законы сохранения (БЕЗ принципа наименьшего действия)

Отметим, что законы сохранения как раз и следуют из принципа наименьшего действия.

Poehavchij в сообщении #1631050 писал(а):

Метод 2) Используем непрерывность и принцип наименьшего действия (БЕЗ законов сохранения)

Так как законы сохранения как раз и следуют из принципа наименьшего действия, то замена одного на другое ни на что не повлияла.
Очень удачно про это сказал уважаемый amon

amon в сообщении #1631012 писал(а):

Принцип наименьшего действия состоит в том, что уравнения Эйлера-Лагранжа для вариационной задачи с фиксированными концами при $L=T-U$ совпадают с уравнениями Ньютона. Все остальное - от лукавого.

Poehavchij в сообщении #1631050 писал(а):

но, при использовании ЗСЭ/ЗСИ(?) он ломается, и..я не пойму почему. Но просто от такого метода ничего вроде как не разьежаеться

"Ломается" не из-за использования ЗСЭ/ЗСИ как такового. Если использовать ЗСЭ/ЗСИ ничего сломаться не должно, и не ломается (см. выше "метод 1"). Если Вы пытаетесь применить ЗСЭ/ЗСИ одновременно с принципом наименьшего действия, то получаете "масло масляное". Но беда даже не в этом, а в том, что за этими, по сути бессмысленными, действиями Вы теряете условия на попадание в конец траектории и-или непрерывности траектории. Как теряется это условия - тоже понятно, Вы его просто нигде не применяете.

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1631010 писал(а):

1)Из-за задачи 4.1 в которой этот подход работает

Ещё ремарка. В ответе к задаче 4.1 всё расписано подробно. Ход решения там такой:
1. Накладываем граничные условия, откуда выражаем два коэффициента из трёх.
2. Получившееся уравнение движения с одним параметром подставляем в интеграл действия.
3. Находим значение параметра, при котором действие стационарно.
Также имеется важное примечание, что таким образом нашли траекторию с минимальным действием не среди любых, а среди траекторий определенного вида. Что это "настоящая" траектория - нужно отдельно проверять (по сути - выводить уравнение движения из уравнений Эйлера-Лагранжа).

Так вот, если Вы будете решать задачу 4.2. таким же образом, то Вам сначала нужно наложить все граничные условия, включая непрерывность траектории на границе раздела сред. При этом у Вас окажется два независимых параметра. Один найдется тривиально - это скорость по вертикали. А для другого получится уравнение 4-й степени. То есть это "метод 2" в Вашей терминологии. А "метода 3" нету.