Интересная задача

[Avaks]

Можно ли подобрать такие натуральные a , d и n, чтобы сумма

1 / a + 1 / (a+ d) + 1 / (a+2d) + ... 1 / (a+nd)
была натуральным числом?

В знаменателях - последовательные члены арифметической прогрессии.

Чем-то похоже на конечные суммы гармонического ряда, но .. не поддается.

[Sonic86]

Я попытался доказать отсутствие решений у этого уравнения.
Я рассматривал делимость числителя на знаменатель и использовал неравенства $a,d,n \geq 1$
У меня получилось:
1. Если решение есть, то решение есть и $\gcd (a,d)=1$.
2. $\gcd (a,d)=1 \Rightarrow a|n!$.
3. Из неравенств получилось, что $a \leq n, d \leq \ln n$.

Мне кажется, что это на олимпиадную задачу смахивает.

Я неравенство исправил.

[Alexiii]

а что если сгруппировать при разной четности n равноудаленные от центра (краев) члены

[Sonic86]

Задача простая!

Используйте лемму:
Если дроби $a/b, c,d$ - несократимы, то $a/b + c/d$ - целое $\Rightarrow b=d$.

[Alexiii]

Sonic86 писал(а):

Задача простая!

$a/b + c/d$ - целое $\Leftrightarrow b=d$.

Откуда?

[ShMaxG]

Sonic86

\[ \frac{2} {{11}} + \frac{3} {{11}} = \frac{5} {{11}} \notin Z \]

Добавлено спустя 1 час 17 минут 23 секунды:

Но верно утверждение, что если

\[ \frac{a} {b} \]

и

\[ \frac{c} {d} \]

несократимые дроби и их сумма равна целому, то

\[ b = d \]

. Доказывается это, например, представлением их суммы в виде:

\[ a\frac{1} {b} + c\frac{1} {d} = a\frac{1} {b} + c\frac{1} {b} + \left( {c\frac{1} {d} - c\frac{1} {b}} \right) \]

со всеми вытекающими.

[Sonic86]

Блин, ошибся.
Исправляю.