2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интересная задача
Сообщение26.11.2008, 17:31 
Можно ли подобрать такие натуральные a , d и n, чтобы сумма

1 / a + 1 / (a+ d) + 1 / (a+2d) + ... 1 / (a+nd)
была натуральным числом?

В знаменателях - последовательные члены арифметической прогрессии.

Чем-то похоже на конечные суммы гармонического ряда, но .. не поддается. :(

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 16:35 
Я попытался доказать отсутствие решений у этого уравнения.
Я рассматривал делимость числителя на знаменатель и использовал неравенства $a,d,n \geq 1$
У меня получилось:
1. Если решение есть, то решение есть и $\gcd (a,d)=1$.
2. $\gcd (a,d)=1 \Rightarrow a|n!$.
3. Из неравенств получилось, что $a \leq n, d \leq \ln n$.

Мне кажется, что это на олимпиадную задачу смахивает.

Я неравенство исправил.

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 17:38 
Аватара пользователя
а что если сгруппировать при разной четности n равноудаленные от центра (краев) члены

 
 
 
 
Сообщение29.11.2008, 11:37 
Задача простая!

Используйте лемму:
Если дроби $a/b, c,d$ - несократимы, то $a/b + c/d$ - целое $\Rightarrow b=d$.

 
 
 
 
Сообщение29.11.2008, 13:25 
Аватара пользователя
Sonic86 писал(а):
Задача простая!

$a/b + c/d$ - целое $\Leftrightarrow b=d$.

Откуда?

 
 
 
 
Сообщение29.11.2008, 14:57 
Аватара пользователя
Sonic86
\[
\frac{2}
{{11}} + \frac{3}
{{11}} = \frac{5}
{{11}} \notin Z
\]

Добавлено спустя 1 час 17 минут 23 секунды:

Но верно утверждение, что если \[
\frac{a}
{b}
\] и \[
\frac{c}
{d}
\] несократимые дроби и их сумма равна целому, то \[
b = d
\]. Доказывается это, например, представлением их суммы в виде:
\[
a\frac{1}
{b} + c\frac{1}
{d} = a\frac{1}
{b} + c\frac{1}
{b} + \left( {c\frac{1}
{d} - c\frac{1}
{b}} \right)
\] со всеми вытекающими.

 
 
 
 
Сообщение01.12.2008, 16:15 
Блин, ошибся.
Исправляю.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group