Разложение многочлена по базису (на известные координаты)

[Kapnal Loga]

Здравствуйте! Возник вопрос про разложение многочлена по базису (базис — координаты). Условно дано кольцо многочленов степени не больше двух $(f(x)=ax^2+bx+c)$. И вопрос 1) существует ли такой базис, в котором его координаты есть $(a, b, c^2)$? В голову сразу идёт базис $x^2, x, 1/c$. Это так или где я не прав? Аналогично вопрос 2) существует ли базис, где любой многочлен имеет координаты $(f(0), f(1), f(3))$. Действительно выполнить также, подставив на иксы цифры и убедиться, что такого базиса нет, или где-то ошибка в таких рассуждениях? Под разложением подразумевается естественно как бы две матрицы строки и столбец, соответственно базис и координаты, дающие в итоге многочлен.

[svv]

Kapnal Loga в сообщении #1629176 писал(а):

Это так или где я не прав?

Вы отвечали на вопрос:
— Верно ли, что для любого многочлена $ax^2+bx+c$ существует базис, в котором координаты этого многочлена равны $(a,b,c^2)$?
Вы правильно ответили, что да (только при $c=0$ надо иначе, чтобы не было деления на $0$).

Но я думаю, что вопрос другой:
— Верно ли, что существует базис, в котором координаты любого многочлена $ax^2+bx+c$ равны $(a,b,c^2)$?

Попробуйте увидеть разницу.

[adfg]

Kapnal Loga писал(а):

вопрос 2) существует ли базис, где любой многочлен имеет координаты $(f(0), f(1), f(3))$. Действительно выполнить также, подставив на иксы цифры и убедиться, что такого базиса нет, или где-то ошибка в таких рассуждениях?

Такой базис конечно есть. Самый простой способ найти его - "подставив на иксы цифры", выписать матрицу перехода, которая переводит вектор $(a,b,c)$ в вектор $(f(0),f(1),f(3))$. После чего сосчитать обратную к ней.

Kapnal Loga писал(а):

Под разложением подразумевается естественно как бы две матрицы строки и столбец, соответственно базис и координаты, дающие в итоге многочлен.

Там между строкой и столбцом должны появиться еще 2 матрицы - справа матрица перехода, описанная выше, а слева от нее - обратная к ней. Вот когда обратную сосчитаете, умножете ее слева на вектор-строку - и получите нужный Вам базис.

[Kapnal Loga]

svv в сообщении #1629181 писал(а):

Kapnal Loga в сообщении #1629176 писал(а):

Это так или где я не прав?

Вы отвечали на вопрос:
— Верно ли, что для любого многочлена $ax^2+bx+c$ существует базис, в котором координаты этого многочлена равны $(a,b,c^2)$?
Вы правильно ответили, что да (только при $c=0$ надо иначе, чтобы не было деления на $0$).

Но я думаю, что вопрос другой:
— Верно ли, что существует базис, в котором координаты любого многочлена $ax^2+bx+c$ равны $(a,b,c^2)$?

Попробуйте увидеть разницу.

Вы подразумеваете, разницу, что в первом случае мы ищем базис, может быть разный, для каждого многочлена по отдельности, а во втором, вами описанном, нужно найти такой единый базис, в котором это будет верно для любого многочлена? Может ли базис в таком случае вообще содержать меняющуюся переменную? Я вправду не вижу, как поменяются рассуждения, они останутся те же? Я просто не большой профессионал в вопросах алгебры, к сожалению, нигде задачи на многочлены особо не видел.

[svv]

Kapnal Loga в сообщении #1629187 писал(а):

Вы подразумеваете, разницу, что в первом случае мы ищем базис, может быть разный, для каждого многочлена по отдельности, а во втором, вами описанном, нужно найти такой единый базис, в котором это будет верно для любого многочлена?

Да, именно.
Эта разница относится не к алгебре, а к логике, и выражается порядком кванторов $\exists$ "любой, всякий" и $\forall$ "существует" в cоответствующем высказывании.

Kapnal Loga в сообщении #1629187 писал(а):

Может ли базис в таком случае вообще содержать меняющуюся переменную?

Конечно, не может. Итак, надо предъявить базис, который даёт такие координаты и притом не зависит от раскладываемого вектора — либо показать, что такого не существует.

[мат-ламер]

Kapnal Loga в сообщении #1629187 писал(а):

Может ли базис в таком случае вообще содержать меняющуюся переменную?

Меняющаяся переменная - это вообще не математическое понятие. Математическое понятие - это функция. Функция $f(x)=x^2$ может быть элементом базиса. А символ $c$ - это функция от чего? От вектора, который надо разложить? Нет, базис единый для всех векторов пространства. И должен быть задан ещё до разложения. И вектор базиса должен быть конкретным элементом пространства. Копайте в направлении доказательства невозможности разложения.

Kapnal Loga в сообщении #1629176 писал(а):

Аналогично вопрос 2) существует ли базис, где любой многочлен имеет координаты $(f(0), f(1), f(3))$.

А тут наоборот - предположите, что разложение существует. Как вариант - решать в лоб (исходя из определений), составив линейную систему из трёх уравнений. Ещё вариант (если возникнет интерес, но не обязательно) - почитать про интерполяционные многочлены Ньютона.

[svv]

svv в сообщении #1629315 писал(а):

, и выражается порядком кванторов $\exists$ "любой, всякий" и $\forall$ "существует"

Простите, перепутал местами значки

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1629336 писал(а):

Как вариант - решать в лоб (исходя из определений), составив линейную систему из трёх уравнений

Ещё вариант - вообще ничего не считать. Ведь нужно лишь обосновать существование базиса. А это следует из того, что определитель нашей системы будет ненулевым определителем Вандермонда.

[Kapnal Loga]

svv в сообщении #1629315 писал(а):

Kapnal Loga в сообщении #1629187 писал(а):

Вы подразумеваете, разницу, что в первом случае мы ищем базис, может быть разный, для каждого многочлена по отдельности, а во втором, вами описанном, нужно найти такой единый базис, в котором это будет верно для любого многочлена?

Да, именно.
Эта разница относится не к алгебре, а к логике, и выражается порядком кванторов $\exists$ "любой, всякий" и $\forall$ "существует" в cоответствующем высказывании.

Kapnal Loga в сообщении #1629187 писал(а):

Может ли базис в таком случае вообще содержать меняющуюся переменную?

Конечно, не может. Итак, надо предъявить базис, который даёт такие координаты и притом не зависит от раскладываемого вектора — либо показать, что такого не существует.

Всё также можно из матрицы легко найти базис, что я уже указывал. А как предъявить общий базис? Это типо не снизу вверх, а сверху вниз рассуждения? Как их провести? Что вы подразумеваете под базисом, не зависящим от вектора, разве изначальный зависит? Или это ненормально, что в координатах и базисе встречается переменная и нужно сказать, что базиса единого нет?

[svv]

Kapnal Loga в сообщении #1629466 писал(а):

А как предъявить общий базис?

Никак, его не существует.

Kapnal Loga в сообщении #1629466 писал(а):

Что вы подразумеваете под базисом, не зависящим от вектора, разве изначальный зависит?

Да. Вектор в данном случае — это конкретный полином. Ваш базис зависит от $a,b,c$ конкретного полинома, значит, для другого полинома с другими $a,b,c$ Вам придётся подбирать другой базис.

Kapnal Loga в сообщении #1629466 писал(а):

Или это ненормально, что в координатах и базисе встречается переменная и нужно сказать, что базиса единого нет?

Именно. Обратите внимание, переменная, зависящая от раскладываемого по базису вектора (полинома). Совершенно некорректная ситуация.
Но Вы не доказали пока, что требуемый базис нельзя построить как-то иначе. Подсказка: последняя координата не зависит от вектора линейно, а должна.

[Kapnal Loga]

svv в сообщении #1629471 писал(а):

Kapnal Loga в сообщении #1629466 писал(а):

А как предъявить общий базис?

Никак, его не существует.

Kapnal Loga в сообщении #1629466 писал(а):

Что вы подразумеваете под базисом, не зависящим от вектора, разве изначальный зависит?

Да. Вектор в данном случае — это конкретный полином. Ваш базис зависит от $a,b,c$ конкретного полинома, значит, для другого полинома с другими $a,b,c$ Вам придётся подбирать другой базис.

Kapnal Loga в сообщении #1629466 писал(а):

Или это ненормально, что в координатах и базисе встречается переменная и нужно сказать, что базиса единого нет?

Именно. Обратите внимание, переменная, зависящая от раскладываемого по базису вектора (полинома). Совершенно некорректная ситуация.
Но Вы не доказали пока, что требуемый базис нельзя построить как-то иначе. Подсказка: последняя координата не зависит от вектора линейно, а должна.

Как бы глупо не было, по определению, вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов с коэффициентами, называемыми координатами. А у нас ситуация, когда невозможно назвать комбинацию линейной с такими коэффициентами, из этого не следует, что базиса для такой ситуации невозможно найти? И искать ничего не надо? А построить его иначе нельзя, у нас в любом случае возникнет ситуация при разложении $c=E*c^2...$, где Е — некоторый базисный вектор, которую невозможно разрешить без введения координаты внутрь базиса.

[svv]

Да.
По условию третья координата полинома $f(x)=ax^2+bx+c$ равна $c^2$, тогда у полинома $2f(x)$ она будет $(2c)^2$, т.е. в $4$ раза больше.
Это противоречит тому, что при умножении полинома на $2$ все его координаты должны увеличиться в $2$ раза.