Построение цоколя конечной группы подстановок

[nea14]

Занимаюсь подгруппами группы подстановок на конечном множестве, написал приложение для андроида. В нем нахожу силовские подгруппы и общие подгруппы для них. Теперь хочу найти цоколь в построеной группе, цоколь, как я понял - подгруппа, поражденная минимальными инвариантными подгруппами самой группы. Минимальная подгруппа в конечной группе всегда циклическоя простого порядка, такая подгруппа должна быть подгруппой силовской подгруппы для своего простого P, а так как она инвариантна она должна лежать во всех силовских подгруппах для этого P. Получается что, все подгруппы цоколя должны быть общими подгруппами силовских подгрупп. Я не ошибаюсь?
И еще, достаточно ли проверить, что найденная (циклическая) подгруппа выдерживает все сопряжения, т. е. нормальна или должна быть нормалькой во всех группе подстановок на данном множестве или же для инвариантности и этого не достаточно, тогда как проверить ее инвариантность?
Для информации: это хобби на пенсии, когда я учился цоколя еще не придумали. Всем спасибо!

[nea14]

Немного поясню. Есть подгруппа G полной группы подстановок $S_n$ в группе G есть подгруппа P (циклическая подгруппа порядка p), которая должна быть инвариантной относительно внутренних автоморфизмов. Если P имеетпорядком простое число p она должна содержаться в некоторой силовской p-подгруппе, по теореме Силова все силовские p-подгруппы в G сопряжены а так, как P нормальна - она при сопряжениях остается неподвижной, значит содержится во всех силовских p-подгруппах, содержится в пересечении всех силовских p-подгрупп. Кажется, все корректно. Бывает, что пересечение всех силовских p-подгрупп больше чем циклическая подгруппа. Так группа, поражденная циклами (1,2,4,5), (1,4,2,5), (3,6) и (3,7) имеет порякок 144 = 9 $\cdot$ 16 есть 4 силовских подгруппы порядка 9 и у них общая подгруппа порядка 3 и 9 силовских подгрупп порядка 16 и у них 6 общих подгрупп порядка 8, которые содержат общую подгруппу порядка 4, что явно не входит в цоколь. Если подгруппа порядка 3 будет нормальной - она войдет в цоколь, кажется так. Это видно из приложения "Создание групп подстановок" из NashStore. Если я ошибаюся, прошу указать, пожалуйста!

[vpb]

Вы, кажется, словосочетание "минимальная нормальная подгруппа" неправильно понимаете. Вы его понимаете как "минимальная подгруппа, которая к тому же нормальна". Каждая такая подгруппа действительно имеет простой порядок. Но на самом деле это выражение означает другое: такая нормальная подгруппа, которая не содержит никакой другой (неединичной) нормальной подгруппы. Т.е. минимальная среди нормальных. Например, в знакопеременной группе $A_4$ т.наз "четверная подгруппа" $\{ e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}$ --- минимальная нормальная.

[nea14]

Спасибо vpb!
Да, я по цоколю именно так и понял: ищем все минимальные подгруппы и из них выбираем нормальные. Если такие найдутсяони порождают цоколь группы, иначе цоколь =1.

Может это неправильно и надо выбирать среди всех нормальных минимальную? Но в таком случае для простой группы (как знакопеременная) цоколем будет сама группа и никогда цоколь не может быть {1}. В этом и состоит мой вопрос. По цоколю нашел только https://ru.wikipedia.org/wiki/Цоколь_(математика)
И здесь меня смущает утверждение "Цоколь является прямым произведением характеристически простых групп". В прямом произведении компоненты между собой поэлементно коммутируют, в общем случае простые нормальные подгруппы не обязаны поэлементно коммутировать!

[vpb]

nea14 в сообщении #1628935 писал(а):

Может это неправильно и надо выбирать среди всех нормальных минимальную?

Неправильно, да.

nea14 в сообщении #1628935 писал(а):

Но в таком случае для простой группы (как знакопеременная) цоколем будет сама группа и никогда цоколь не может быть {1}.

Да, верно.

nea14 в сообщении #1628935 писал(а):

в общем случае простые нормальные подгруппы не обязаны поэлементно коммутировать!

Нет, как раз обязаны.

И не читайте Википедию лучше. Источник этот довольно бестолковый, а местами и лживый. Я как-то приводил тут на форуме список книг по теории групп, можете поискать (самому, извините, лень, а координаты и даже дату примерно не помню).

[nea14]

Спасибо!
Несколько книг по группам у меня есть, только цоколь новое понятие, может в новых монографиях и есть, но таковых у меня нет.
А найти нормальную подгруппу не пока вижу приемлемого алгоритма, может и брошу эту идею. Была еще у меня мысль: хорошо бы посмотреть как полученная группа размещается в полной группе подстановок. Правда граф кэли - очень громоздко, для групп порядка 100+ не удобно, я это реализовал в своем приложении. Ладно, буду думать или еще чем займусь.Спасибо!

[vpb]

Я не специалист по компьютерной алгебре и т.д., но знаю, что разных систем для вычислений относящихся к группам много есть. И все алгоритмы для таких задач давно разработаны. Можете погуглить "computational group theory", или "group computations", или еще что.

[nea14]

Нормальная подгруппа всегда состоит из 1 или нескольких классов сопряжённых элементов. А проверить подмножество является оно подгруппой это пара SQL запросов. Надо обдумать. А в своем приложении я использую только свои алгоритмы, да и не знаю алгоритмов GAP, очень громоздкая система. Классы сопряжённых элементов я уже нахожу.