Задача по АнГему

[warning233]

Добрый день! Недавно попалась вот такая вот задачка. Ничего толкового не придумал, поэтому обращаюсь за помощью к вам. Прошу вас дать мне подсказку для решения этой задачи.
$e = \left\lbrace x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R} \mid 2xy - 2\sqrt{2}x - 1 = 0 \right\rbrace$

Нужно найти каноническое уравнение кривой второго порядка e

[warlock66613]

Напишите определение что такое каноническое уравнение кривой второго порядка.

[warning233]

warlock66613 в сообщении #1629103 писал(а):

Напишите определение что такое каноническое уравнение кривой второго порядка.

А если я приведу мое уравнение к такому виду:
$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$
а после проведу преобразования для приведения к каноническому виду, то получу ответ. Правильно?

[warlock66613]

warning233 в сообщении #1629108 писал(а):

А если я приведу мое уравнение к такому виду

Вам и давно уравнение в таком виде. Вот чему у вас например равно $B$?

[warning233]

warlock66613 в сообщении #1629109 писал(а):

warning233 в сообщении #1629108 писал(а):

А если я приведу мое уравнение к такому виду

Вам и давно уравнение в таком виде. Вот чему у вас например равно $B$?

$B = 1$. Кажется, я понял как решать. Спасибо за наводку!

[warlock66613]

warning233 в сообщении #1629110 писал(а):

Кажется, я понял как решать.

Ну если застрянете, скажите.

[warning233]

warlock66613 в сообщении #1629111 писал(а):

warning233 в сообщении #1629110 писал(а):

Кажется, я понял как решать.

Ну если застрянете, скажите.

Я не застрял и дорешал, вот только не знаю, правильный ли ответ получился...
мой ответ:
$\widetilde{x^2} - \widetilde{y^2} = 1$. Получилась гипербола, начало новой системы координат которой находится в точках $0, \sqrt{2}$. А угол поворота относительно старой системы координат равен $-\frac{\pi}{4}$. Скажите, правильно ли я решил?

[warlock66613]

Посмотрим.

Задачу можно решить практически устно, если помнить кое-что из школы. Попробуем упростить уравнение. Вынесем общий множитель:

$$2x(y - \sqrt{2}) - 1 = 0 $$

. Сместим начало координат в точку $(0, \sqrt 2)$, тогда $y - \sqrt{2} \mapsto y$ и уравнение становится $2xy-1=0$ или $xy = 1/2$. Из школьного курса можно узнать что это уравнение гиперболы и сравнив её график с графиком канонического уравнения гиперболы легко догадаться, что надо повернуть систему координат на угол $\pi/4$ против часовой стрелки или по часовой стрелке — в любом случае получим каноническую гиперболу. Вы выбрали против часовой. Тогда уравнение должно стать типа $x^2 - y^2 = a^2$ — у вас так и получилось. $a$ подсчитать чуть сложнее, но в общем подсчитали вы правильно. Итог: всё верно.

[Dedekind]

warning233
Конкретно Ваше решение не проверял, но небольшой совет, который, возможно, Вам пригодится. Такие задания легко проверять самостоятельно, используя графический плоттер, типа такого. https://www.geogebra.org/calculator/htf5zzrm

[warning233]

warlock66613 в сообщении #1629125 писал(а):

Посмотрим.

Задачу можно решить практически устно, если помнить кое-что из школы. Попробуем упростить уравнение. Вынесем общий множитель:

$$2x(y - \sqrt{2}) - 1 = 0 $$

. Сместим начало координат в точку $(0, \sqrt 2)$, тогда $y - \sqrt{2} \mapsto y$ и уравнение становится $2xy-1=0$ или $xy = 1/2$. Из школьного курса можно узнать что это уравнение гиперболы и сравнив её график с графиком канонического уравнения гиперболы легко догадаться, что надо повернуть систему координат на угол $\pi/4$ против часовой стрелки или по часовой стрелке — в любом случае получим каноническую гиперболу. Вы выбрали против часовой. Тогда уравнение должно стать типа $x^2 - y^2 = a^2$ — у вас так и получилось. $a$ подсчитать чуть сложнее, но в общем подсчитали вы правильно. Итог: всё верно.

Как ещё проверить? Инвариантами. Их три: $A+C$, $\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \end{vmatrix}$.

Ну $A+C$ сходится: был ноль и остался ноль, а считать определители мне лень, я уверен что сойдётся.

Спасибо за вашу помощь. Определители я считал. Все сходится

-- 11.02.2024, 14:27 --

Dedekind в сообщении #1629126 писал(а):

warning233
Конкретно Ваше решение не проверял, но небольшой совет, который, возможно, Вам пригодится. Такие задания легко проверять самостоятельно, используя графический плоттер, типа такого. https://www.geogebra.org/calculator/htf5zzrm

Спасибо, буду знать.