Помогите применить з-н Пуассона

[Liub]

Никак не могу разобраться с задачей:

обрывность в прядении составляет 100 обрывов на 1000 веретен в час. Возможно ли, что на одном веретене произойдет 5 обрывов за смену (8 часов), если события с вероятностью меньше 0,001 можно считать практически невозможными.

Меня смущает, что вопрос про обрывы на одном веретене(

[Архипов]

Liub в сообщении #162759 писал(а):

обрывность в прядении составляет 100 обрывов на 1000 веретен в час. Возможно ли, что на одном веретене произойдет 5 обрывов за смену (8 часов), если события с вероятностью меньше 0,001 можно считать практически невозможными

Вероятность обрыва одного веретена за час равна 100/1000=0,1
По формуле Бернулли вероятность 5 обрывов за 8 часов $P(5/8)=0,0004$

[antbez]

Цитата:

если события с вероятностью меньше 0,001 можно считать практически невозможными.

Интересно, зачем это условие? Вот если бы спрашивалась вероятность более 5 обрывов, то, суммируя вероятности, посчитанные по схеме Бернулли, мы могли бы пренебречь какими-то слагаемыми...

[Liub]

antbez писал(а):

Цитата:

если события с вероятностью меньше 0,001 можно считать практически невозможными.

Интересно, зачем это условие? Вот если бы спрашивалась вероятность более 5 обрывов, то, суммируя вероятности, посчитанные по схеме Бернулли, мы могли бы пренебречь какими-то слагаемыми...

Это условие для того, чтобы мы могли дать ответ о возможности рассматриваемого события. Если искомая вероятность будет меньше 0.001, то в ответе запишем, что событие будем считать невозможным.

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

Архипов писал(а):

Liub в сообщении #162759 писал(а):

обрывность в прядении составляет 100 обрывов на 1000 веретен в час. Возможно ли, что на одном веретене произойдет 5 обрывов за смену (8 часов), если события с вероятностью меньше 0,001 можно считать практически невозможными

Вероятность обрыва одного веретена за час равна 100/1000=0,1
По формуле Бернулли вероятность 5 обрывов за 8 часов $P(5/8)=0,0004$

Я совсем запуталась и не знаю как тут поступить(
Дело в том, что задача в теме Теорема Пуассона и Простейших событиях.
Можно ли тут обойтись Бернулли я не знаю.
Как ведь есть какая-то вероятность того, что обрывы на одном и том же веретене произойдут в течении одного часа.

[Henrylee]

С чего вы это взяли, что задана вероятность обрыва одной нити в течении часа?
Условие построено так, что позволяет говорить о фиксированной средней интенсивности обрывов, т.е. как раз на распределение Пуассона.

Добавлено спустя 1 минуту 22 секунды:

больше 0.001 получается (0,001226968)

[Alexiii]

практически невозможным при вероятности менее 0.001 оное и будет,так что тут наверное просят их считать просто как невозможные

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

с задачей же все ясно, - стандартная

[Liub]

Про возможное и невозможное мне все понятно.
Мне не понятно как рассчитать вероятность(

[Henrylee]

Liub писал(а):

Про возможное и невозможное мне все понятно.
Мне не понятно как рассчитать вероятность(

Распределение Пуассона с параметрами $\lambda=0,8$, $n=5$

[Liub]

Henrylee писал(а):

Распределение Пуассона с параметрами $\lambda=0,8$, $n=5$

Спасибо за разъяснения, вы мне очень помогли))) это все сводило меня с ума!

[Henrylee]

Liub писал(а):

Henrylee писал(а):

Распределение Пуассона с параметрами $\lambda=0,8$, $n=5$

Спасибо за разъяснения, вы мне очень помогли))) это все сводило меня с ума!

Не за что. Что касается объяснений, то, думаю, привести их можно, в частности, для Архипова.

Рассматривать модель с веретенами как схему Бернулли нельзя. Почему? По нескольким прияинам. 1. Притягивая за уши Бернулли, спрашиваем, что такое в этой модели опыт? Один час? тогда как в течение одного опыта(часа) может произойти несколько успехов? У нас может, в схеме Бернулли - нет. 2. Что такое вероятность успеха? 0,1? - нет, это интенсивность (врмя непрерывно), даже не частота, тем более не вероятность.

немножко сумбурно - тороплюсь убегать, но думаю всем все ясно.

[Архипов]

Henrylee в сообщении #162925 писал(а):

Рассматривать модель с веретенами как схему Бернулли нельзя. Почему? По нескольким прияинам. 1. Притягивая за уши Бернулли, спрашиваем, что такое в этой модели опыт? Один час? тогда как в течение одного опыта(часа) может произойти несколько успехов? У нас может, в схеме Бернулли - нет. 2. Что такое вероятность успеха? 0,1? - нет, это интенсивность (врмя непрерывно), даже не частота, тем более не вероятность.

Посмотрел статью про распределение Пуассона. Там рассматривается поток событий во времени, а вероятность ищут для времени, меньшего, чем время, для которого определено среднее количество событий. Пример: "за час в среднем происходит 100 обрывов, найти вероятность того, что за 1 минуту произойдет 5 обрывов.". В обсуждаемой задаче не видно зависимости количества событий от времени. "Из 1000 нитей 100 обрываются за 1 час." Что на что делить? 100 обрывов на 1000 нитей или 100 обрывов на 3600 секунд? Далее говорится про 8 часов. Из 1000 нитей должны оборваться 800 или из 8000 нитей оборвутся 800?
***Если рассматривать процесс во времени, то из условия задачи следует, что из 1000 нитей обрываются за час 100 нитей, за второй час должны оборваться 90 (десятая часть от оставшихся), потом 81,73,66,59,53,47. и к исходу 8 часов оборвутся 570 нитей из 1000.
*** Если предположить, что в процессе работы за 1 час обрывается каждая десятая нить, она мгновенно связывается и все время у нас работают 1000 веретен, то за 8 часов просто для каждого конкретного веретена 8 раз повторится опыт с вероятностью обрыва нити 0,1 - то есть проводятся испытания Бернулли?

[Henrylee]

Архипов писал(а):

В обсуждаемой задаче не видно зависимости количества событий от времени. "Из 1000 нитей 100 обрываются за 1 час." Что на что делить? 100 обрывов на 1000 нитей или 100 обрывов на 3600 секунд? Далее говорится про 8 часов. Из 1000 нитей должны оборваться 800 или из 8000 нитей оборвутся 800?

Вы условие читали невнимательно. У нас не нитей 1000, а веретен. Рассматривая одно веретено, можно наблюдать в среднем 0,1 обрыв в час (100/1000) или 0,8 обрывов за 8 часов.

Архипов писал(а):

***Если рассматривать процесс во времени, то из условия задачи следует, что из 1000 нитей обрываются за час 100 нитей, за второй час должны оборваться 90 (десятая часть от оставшихся), потом 81,73,66,59,53,47. и к исходу 8 часов оборвутся 570 нитей из 1000.

см. выше ("У нас не нитей 1000, а веретен.")

А вот это верно:

Архипов писал(а):

*** Если предположить, что в процессе работы за 1 час обрывается каждая десятая нить, она мгновенно связывается и все время у нас работают 1000 веретен,

А вот это ерунда:

Архипов писал(а):

то за 8 часов просто для каждого конкретного веретена 8 раз повторится опыт с вероятностью обрыва нити 0,1 - то есть проводятся испытания Бернулли?

Уже писал, повторюсь -
1. В схеме Бернулли в одном испытании не может произойти более одного успеха. У нас же нить может в течение одного часа порваться сколько угодно раз.
2. Сколько вообще успехов может быть в схеме Бернулли? Ну никак не болше числа испытаний. В данной задаче число обрывов теоретически не ограничено.
3. 0.1 - это не вероятность (в задаче не сказано - вероятность обрыва .... равна 0.1) это интенсивность.
4. Попробуйте, пользуясь схемой Бернулли, вычислить вероятность, что произойдет не 5 обрывов за 8 часов, а 20 обрывов в течение 2-х часов.

[Архипов]

Liub в сообщении #162759 писал(а):

обрывность в прядении составляет 100 обрывов на 1000 веретен в час. Возможно ли, что на одном веретене произойдет 5 обрывов за смену (8 часов), если события с вероятностью меньше 0,001 можно считать практически невозможными

Исходя из предположения, что нить на каждом веретене мгновенно восстанавливается при обрыве и работают все 1000 веретен все 8 часов.

Henrylee в сообщении #163386 писал(а):

У нас не нитей 1000, а веретен. Рассматривая одно веретено, можно наблюдать в среднем 0,1 обрыв в час (100/1000) или 0,8 обрывов за 8 часов.

Теперь количество веретен уже не важно, коль нашли интенсивность обрывов для одного веретена. Среднеквадратическое отклонение из соображений его симметрии относительно среднего значения будет не больше 0,8, тогда с вероятностью 0,997 количество обрывов не превысит 3,2 (правило трех "сигм"). Приблизительно. То есть вероятность 5 обрывов очень мала (пусть 0,0012, как предлагается дать ответом к задаче). Но это - вероятность 5 обрывов для каждого веретена.
А о чем спрашивается в задаче? Какова вероятность того, что на одном из 1000 веретен за 8 часов произойдет 5 обрывов? Среднее количество таких веретен - пр=1,2 , к=1 по формуле Пуассона Р(1)=0,36. Или по формуле Бернулли - Р(1)=1000*0,0012*0,9988^999=0,36.
Про возможность такого события спрашивается в задаче?

[Henrylee]

Liub писал(а):

Возможно ли, что на одном веретене произойдет 5 обрывов за смену (8 часов), если события с вероятностью меньше 0,001 можно считать практически невозможными.(

Добавлено спустя 48 минут 53 секунды:

Архипов писал(а):

Среднеквадратическое отклонение из соображений его симметрии относительно среднего значения будет не больше 0,8, тогда с вероятностью 0,997 количество обрывов не превысит 3,2 (правило трех "сигм").

Правило 3-х сигм это для нормального распределения. К чему эти рассуждения - непонятно.

Архипов писал(а):

А о чем спрашивается в задаче? Какова вероятность того, что на одном из 1000 веретен за 8 часов произойдет 5 обрывов? Среднее количество таких веретен - пр=1,2 , к=1 по формуле Пуассона Р(1)=0,36. Или по формуле Бернулли - Р(1)=1000*0,0012*0,9988^999=0,36.
Про возможность такого события спрашивается в задаче?

Нет, но, если бы условие было таким: "Какова вероятность того, что ровно на одном каком-нибудь, неважно на каком из 1000 веретен за 8 часов произойдет 5 обрывов?", то, действительно, во второй части задачи можно использовать Бернулли для нахождения точного решения или Пуассона для приближенного.

[ewert]

Архипов в сообщении #163502 писал(а):

Исходя из предположения, что нить на каждом веретене мгновенно восстанавливается при обрыве и работают все 1000 веретен все 8 часов.

Пафос-то в том, что веретено -- всё же именно одно, а не тысяча.

Эту задачу действительно можно притянуть (хоть и за уши) к схеме Бернулли в приближении Пуассона, но другим способом. Представим себе, что вся нить (пробегающая за час) разбита на большое количество одинаковых участков. Вероятность разрыва каждого участка заведомо мала, и эти разрывы условно можно считать независимыми. Вот при этих предположениях формула Пуассона и выходит.